Considere o seguinte sistema linear
\left(\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -8 \\\\ 7 \\\\ 0 \end{array}\right)
(a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de GaussJacobi a partir x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.05.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear
\left(\begin{array}{ccc} -10 & 2 & 2 \\\\ 1 & 6 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -8 \\\\ 7 \\\\ 0 \end{array}\right)
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi, começando em x^{(0)}=\left(\begin{smallmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right) e parando quando o erro relativo for \epsilon=0{,}05 (5%).\n
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}-10&2&2\\[4pt]1&6&0\\[4pt]-1&1&3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]7\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \epsilon=0{,}05.]

Passo 2

Antes de iterar, verifico se a convergência está garantida. Uma condição suficiente para convergência do método de Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Calculo para cada linha:
linha 1: |a_{11}|=|-10|=10 e |a_{12}|+|a_{13}|=|2|+|2|=4, logo 10>4.\n
linha 2: |a_{22}|=|6|=6 e |a_{21}|+|a_{23}|=|1|+|0|=1, logo 6>1.\n
linha 3: |a_{33}|=|3|=3 e |a_{31}|+|a_{32}|=|{-1}|+|1|=2, logo 3>2.\n
Todas as linhas são estritamente dominantes, então a convergência do método de Jacobi está garantida para qualquer x^{(0)}. (Ótimo: dá pra ficar mais tranquilo.)

Passo 3

Derivo a fórmula iterativa de Jacobi componente a componente. A ideia é isolar cada incógnita na sua equação usando os valores das iterações anteriores. Das equações do sistema:
-10x_1+2x_2+2x_3=-8,
x_1+6x_2+0\cdot x_3=7,
- x_1 + x_2 +3x_3=0.
Isolando cada x_i:
x_1=\frac{-8-2x_2-2x_3}{-10}=0{,}8+0{,}2x_2+0{,}2x_3,
x_2=\frac{7-x_1}{6}=\frac{7}{6}-\frac{1}{6}x_1,
x_3=\frac{x_1-x_2}{3}=\frac{1}{3}x_1-\frac{1}{3}x_2.
No método de Jacobi, para obter x^{(k+1)} uso somente os valores de x^{(k)} no lado direito. Em notação:
x_1^{(k+1)}=0{,}8+0{,}2\,x_2^{(k)}+0{,}2\,x_3^{(k)},
x_2^{(k+1)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\,x_1^{(k)},
x_3^{(k+1)}=\tfrac{1}{3}\,x_1^{(k)}-\tfrac{1}{3}\,x_2^{(k)}.

Passo 4

Preciso definir o critério de parada com o erro relativo \epsilon. Vou usar a norma infinito (mais comum e simples de calcular à mão) e definir o erro relativo como
\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty}{\|x^{(k+1)}\|_\infty}\le\epsilon,
onde \|v\|_\infty=\max_i|v_i|. Razoável e evita dependência de norma complicada. Observação prática: se \|x^{(k+1)}\|_\infty=0 haveria divisão por zero; aqui isso não ocorrerá nas primeiras iterações porque x^{(1)} já é não nulo.
Agora faço iterações até o critério ser satisfeito. Vou mostrar cada iteração calculando cada componente e o erro relativo.

Passo 5

Iteração k=0\to 1. Com x^{(0)}=(0,0,0):
x_1^{(1)}=0{,}8+0{,}2\cdot0+0{,}2\cdot0=0{,}8,
x_2^{(1)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0=\tfrac{7}{6}\approx1{,}1666667,
x_3^{(1)}=\tfrac{1}{3}\cdot0-\tfrac{1}{3}\cdot0=0.
Então
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0{,}8\\[4pt]1{,}1666667\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Diferença x^{(1)}-x^{(0)} tem norma infinito \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=1{,}1666667. Norma de x^{(1)} é \|x^{(1)}\|_\infty=1{,}1666667. Logo erro relativo
\frac{1{,}1666667}{1{,}1666667}=1>0{,}05.
Ainda não para.]

Passo 6

Iteração k=1\to 2. Uso x^{(1)}:
x_1^{(2)}=0{,}8+0{,}2\cdot1{,}1666667+0{,}2\cdot0=0{,}8+0{,}23333334=1{,}03333334,
x_2^{(2)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0{,}8=1{,}1666667-0{,}13333333=1{,}03333337\\ (\text{arred.}),
x_3^{(2)}=\tfrac{1}{3}\cdot0{,}8-\tfrac{1}{3}\cdot1{,}1666667=0{,}26666667-0{,}38888889=-0{,}12222222.
Arredondando razoavelmente,
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}1{,}0333333\\[4pt]1{,}0333333\\[4pt]-0{,}1222222\end{pmatrix}.
Diferença |x^{(2)}-x^{(1)}| tem componentes \{0{,}2333333,\;0{,}1333333,\;0{,}1222222\}, então \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0{,}2333333. Norma \|x^{(2)}\|_\infty=1{,}0333333. Erro relativo
\frac{0{,}2333333}{1{,}0333333}\approx0{,}2256>0{,}05.
Ainda não para.]

Passo 7

Iteração k=2\to 3. Uso x^{(2)}:
x_1^{(3)}=0{,}8+0{,}2\cdot1{,}0333333+0{,}2\cdot(-0{,}1222222) =0{,}8+0{,}20666666-0{,}02444444=0{,}98222222,
x_2^{(3)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot1{,}0333333 =1{,}1666667-0{,}17222222=0{,}99444448,
x_3^{(3)}=\tfrac{1}{3}\cdot1{,}0333333-\tfrac{1}{3}\cdot1{,}0333333=0\quad(\text{note que }x_1^{(2)}=x_2^{(2)}).
Assim
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0{,}9822222\\[4pt]0{,}9944445\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Diferença x^{(3)}-x^{(2)} tem componentes \{0{,}0511111,\;0{,}0388888,\;0{,}1222222\} e \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0{,}1222222. Norma \|x^{(3)}\|_\infty=0{,}9944445. Erro relativo
\frac{0{,}1222222}{0{,}9944445}\approx0{,}1229>0{,}05.
Ainda não para.]

Passo 8

Iteração k=3\to 4. Uso x^{(3)}:
x_1^{(4)}=0{,}8+0{,}2\cdot0{,}9944445+0{,}2\cdot0 =0{,}8+0{,}1988889=0{,}9988889,
x_2^{(4)}=\tfrac{7}{6}-\tfrac{1}{6}\cdot0{,}9822222 =1{,}1666667-0{,}1637037=1{,}0029630,
x_3^{(4)}=\tfrac{1}{3}\cdot0{,}9822222-\tfrac{1}{3}\cdot0{,}9944445 =\tfrac{1}{3}\cdot(-0{,}0122223)=-0{,}0040741.
Logo
x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}0{,}9988889\\[4pt]1{,}0029630\\[4pt]-0{,}0040741\end{pmatrix}.
Diferença x^{(4)}-x^{(3)} tem componentes \{0{,}0166667,\;0{,}0085185,\;0{,}0040741\} e \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty=0{,}0166667. Norma \|x^{(4)}\|_\infty=1{,}0029630. Erro relativo
\frac{0{,}0166667}{1{,}0029630}\approx0{,}01662<0{,}05.
A condição de parada foi satisfeita nesta iteração.]

Passo 9

Concluí que a iteração foi parada ao obter x^{(4)} porque o erro relativo caiu abaixo de \epsilon=0{,}05. As componentes calculadas em x^{(4)} são a aproximação requerida pelo método de Jacobi a partir de x^{(0)} com o critério pedido.

Resposta

x\approx\begin{pmatrix}0{,}9988889\\[4pt]1{,}0029630\\[4pt]-0{,}0040741\end{pmatrix}]

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