(a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de GaussJacobi a partir x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) e erro relativo \epsilon=0.05.
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi, começando em x^{(0)}=\left(\begin{smallmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right) e parando quando o erro relativo for \epsilon=0{,}05 (5%).\n
Informações relevantes dadas:
Antes de iterar, verifico se a convergência está garantida. Uma condição suficiente para convergência do método de Jacobi é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Calculo para cada linha:
linha 1: |a_{11}|=|-10|=10 e |a_{12}|+|a_{13}|=|2|+|2|=4, logo 10>4.\n
linha 2: |a_{22}|=|6|=6 e |a_{21}|+|a_{23}|=|1|+|0|=1, logo 6>1.\n
linha 3: |a_{33}|=|3|=3 e |a_{31}|+|a_{32}|=|{-1}|+|1|=2, logo 3>2.\n
Todas as linhas são estritamente dominantes, então a convergência do método de Jacobi está garantida para qualquer x^{(0)}. (Ótimo: dá pra ficar mais tranquilo.)
Passo 3
Derivo a fórmula iterativa de Jacobi componente a componente. A ideia é isolar cada incógnita na sua equação usando os valores das iterações anteriores. Das equações do sistema:
Preciso definir o critério de parada com o erro relativo \epsilon. Vou usar a norma infinito (mais comum e simples de calcular à mão) e definir o erro relativo como
onde \|v\|_\infty=\max_i|v_i|. Razoável e evita dependência de norma complicada. Observação prática: se \|x^{(k+1)}\|_\infty=0 haveria divisão por zero; aqui isso não ocorrerá nas primeiras iterações porque x^{(1)} já é não nulo.
Agora faço iterações até o critério ser satisfeito. Vou mostrar cada iteração calculando cada componente e o erro relativo.
Diferença x^{(1)}-x^{(0)} tem norma infinito \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=1{,}1666667. Norma de x^{(1)} é \|x^{(1)}\|_\infty=1{,}1666667. Logo erro relativo
A condição de parada foi satisfeita nesta iteração.]
Passo 9
Concluí que a iteração foi parada ao obter x^{(4)} porque o erro relativo caiu abaixo de \epsilon=0{,}05. As componentes calculadas em x^{(4)} são a aproximação requerida pelo método de Jacobi a partir de x^{(0)} com o critério pedido.