Dado o sistema de equações lineares:
e a estimativa inicial: x = [0,0].
Resolva o sistema utilizando o método Gauss-Jacobi.
Passo 1
Beleza, o exercício é resolver um sistema de duas equações lineares
4 X₁ + X₂ = 9
2 X₁ + 6 X₂ = 10
usando o método de Gauss–Jacobi com chute inicial X^(0) = [0, 0].
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Jacobi para sistemas lineares.
O que precisamos:
isolar cada variável em função das outras,
montar as fórmulas de iteração,
aplicar repetidas vezes até convergir.
Passo 2
Vamos isolar X₁ e X₂:
Da 1ª equação, 4 X₁ + X₂ = 9 ⇒ .
Da 2ª equação, 2 X₁ + 6 X₂ = 10 ⇒ .
Passo 3
No Gauss–Jacobi, a iteração k+1 usa só os valores da iteração k:
Chute inicial: .
Passo 4
Agora vamos iterar (arredondando a 4 casas decimais):
k=0 ⇒
k=1 ⇒
k=2 ⇒
k=3 ⇒
k=4 ⇒
k=5 ⇒
A diferença entre iterações já tá bem pequena (menor que 0,005), então está convergindo.
Resposta
Aproximação da solução pelo método de Gauss–Jacobi é