Resolva a equação a seguir por meio dos métodos da bisseção, Newton e Secante. Defina previamente o intervalo ou estimatimativa inicial e os critérios de parada. Faça as primeiras 3 iterações na mão e as demais com o auxílio de um computador.
Equação 01: 3 X^5-2 X^3-X^2-7=0

Passo 1

Beleza, o problema é achar a raiz da equação
f(x)=3x^5 -2x^3 -x^2 -7 = 0
usando três métodos numéricos: bisseção, Newton e secante.
Conteúdo: métodos de resolução de raízes (numéricos).
O que vamos precisar:
- Para bisseção: um intervalo com .
- Para Newton: a derivada .
- Para Secante: duas estimativas iniciais.
Em todos: um critério de parada típico, por exemplo .

Passo 2

Método da Bisseção
  1. Definição do intervalo:
    Testando e , temos sinal trocado em .
  2. Critério de parada: .
  3. Iterações manuais (só as 3 primeiras):
    • iteração 1:
      .
      Como ? Não (–7·+6.78<0 é falso), então novo intervalo .
    • iteração 2:
      .
      Sinal trocado em .
    • iteração 3:
      .
      Novo intervalo .
      Depois disso, a gente continuaria cortando o intervalo ao meio com um computador até .

Passo 3

Método de Newton
  1. Derivada: f'(x)=15x^4 - 6x^2 -2x
    2) Chute inicial: .
    3) Critério de parada: .
    4) Iterações manuais (3 primeiras):
    - iteração 1:

    .
    - iteração 2:

    .
    - iteração 3:

    .
    Daí seguimos no computador até a diferença entre iterações ficar abaixo de .

Passo 4

Método da Secante
  1. Chutes iniciais: xn+1=xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1).
  2. Fórmula:
    3) Critério de parada: .
    4) Iterações manuais (3 primeiras):
    - iteração 1:


    - iteração 2:


    - iteração 3:


    Depois, continuamos no computador até .

Resposta

As três técnicas convergem para a raiz
xapprox1.3578(com tol 10^-5)

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