Dado o sistema de equações lineares:
4 X1+X2=9
2 X1+6 X2=10
e a estimativa inicial: x = [0,0].
A cada iteração calcule o valor de De e F(x)=A cdot x-b

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente resolver o sistema linear
4X1 + X2 = 9, 2X1 + 6X2 = 10,
usando o método de Newton (que, para sistemas lineares, cai em uma iteração exata). A ideia é tratar
F(x)=A,x - b
com
A=4 & 12 & 6, b=910,
e a estimativa inicial x^(0)=(0,0)^T. Precisamos em cada passo calcular
  1. Fl(x^(k)r),
  2. De,
  3. e então atualizar x^(k+1)=x^(k)+De.

Passo 2

Vamos montar as peças:
  • x^(0)=(0,0)^T.
  • F(x)=A,x - b.
  • A inversa de A (vamos calcular já):
Para achar A^-1, usamos a fórmula de matriz 2times2:
A^-1=1det A6 & -1-2 & 4, det A = 4cdot6 - 1cdot2 = 24 - 2 = 22
Logo
A^-1 = 1226 & -1-2 & 4

Passo 3

Calcular Fl(x^(0)r):
F(x^(0)) = A,(0,0)^T - 910 = 00 - 910 = -9-10

Passo 4

Agora De:
De
Vamos multiplicar:
6 & -1-2 & 4 -9-10 = 6cdot(-9) + (-1)cdot(-10) -2cdot(-9) + 4cdot(-10) = -54 +10 18 -40 = -44-22
Então
De

Passo 5

Atualizamos a estimativa:
x^(1) = x^(0) + De

Passo 6

Calcular Fl(x^(1)r) pra ver se já convergiu:
F(x^(1)) = A,(2,1)^T - 910 = 4cdot2+1cdot12cdot2+6cdot1 - 910 = 910 - 910 = 00

Passo 7

Como F(x^(1))=(0,0)^T, a próxima correção é zero:
De
Ou seja, já encontramos a solução exata em uma iteração.

Resposta

Iteração 0:
F(x^(0)) = -9-10, De.
Iteração 1:
$\displaystyle F(x^{(1)}) = F(x^(1)) = 00, De,\quad
\Delta x^{(1)} = ,. $

Exercícios relacionados