Dado o sistema de equações lineares:
Resolva o sistema pelo método de fatoração LU com pivotamento parcial.
Passo 1
Beleza, temos aqui um sistema de 3 equações lineares
Conteúdo: fatoração LU com pivotamento parcial.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar
e . - Fazer passo a passo a eliminação de Gauss guardando os multiplicadores em
, a parte superior em e trocar linhas em quando o pivô não for o maior coeficiente em módulo. - Resolver
(forward substitution). - Resolver
(back substitution).
Passo 2
Construindo as matrizes:
A= 4 & -1 & 1 -1 & 4.25 & 2.75 1 & 2.75 & 3.5 , b=01-1
Pivotamento parcial no passo 1 (coluna 1):
veja
ell21 = -14=-tfrac14, ell31 = 14=tfrac14 ; o maior é 4 (linha 1), então sem troca:
4.25 -(-tfrac14)(-1) & 2.75 -(-tfrac14)(1) 2.75 -(tfrac14)(-1) & 3.5 -(tfrac14)(1) = 4.00 & 3.00 3.00 & 3.25 .
Multiplicadores:
ell32 = 3.004.00 = 0.75
Eliminações:
linha 2 ← linha 2 −
u33 = 3.25 - 0.75cdot 3.00 = 1.00 ·linha 1,
linha 3 ← linha 3 −
P=I, L= 1 &0 &0 -tfrac14&1 &0 tfrac14&0.75&1 , U= 4 & -1 & 1 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1 ·linha 1.
O bloco
restante vira
[
]
Agora passo 2 (coluna 2): comparar
e
; o maior é 4.00 (linha 2), sem troca.
Eliminação:
linha 3 ← linha 3 − 0.75·linha 2 dá
linha 3 ← linha 3 − 0.75·linha 2 dá
No fim temos
Passo 3
Forward substitution em
y1 = 0, y2 = 1 - l(-tfrac14r),y1 = 1, y3 = -1 - tfrac14,y1 - 0.75,y2 = -1 - 0.75 = -1.75 :
Passo 4
Back substitution em
u33,x3 = y3 ;;Rightarrow;; x3 = -1.75, 4,x2 + 3,x3 = y2 ;;Rightarrow;; 4,x2 + 3(-1.75) = 1 ;Rightarrow; x2 = tfrac6.254 = 1.5625, 4,x1 - x2 + x3 = y1;;Rightarrow;; 4,x1 -1.5625 -1.75 = 0 ;Rightarrow; x1 = 0.828125 :