Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. Informação importante extraída do enunciado:
- A função é
. - Preciso encontrar
para todo no domínio da função.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que fica mais fácil de derivar. Observe que
Como
para todo
, a raiz quinta de
é bem definida para todo real e é igual a
Explicando: usar a potência fracionária
dá o mesmo que
— isso garante que a expressão faça sentido para
(a raiz de índice ímpar existe, e o resultado é sempre não negativo porque
já é não negativo).
Passo 3
Estratégia para derivar: como apareceu valor absoluto, é natural derivar a função em partes (piecewise):
- para
podemos usar diretamente a regra da potência em ; - para
escrevemos e usamos a regra da cadeia (derivada de uma potência composta com ); - em
precisamos checar a derivabilidade pelo limite do quociente incremental.
Vou lembrar rapidamente as regras que vou usar (com linguagem simples):
- Regra da potência: se
com constante real , então
para pontos onde a expressão está bem definida. Aqui
.
- Regra da cadeia (forma curta): se
então
Usarei isto quando
.
Passo 4
Derivada para
.
Para
temos
. Aplicando a regra da potência com
:
Passo 5
Derivada para
.
Para
é conveniente escrever
. Tome
e
. Então
e
. Pela regra da cadeia:
Note que para
tem-se
, então
está bem definido e positivo.
Passo 6
Derivada em
.
Precisamos verificar se o limite do quociente incremental existe:
Calcule as duas direções:
- Para
: quando . - Para
: escreva com . Então quando .
Como os limites lateral esquerdo e direito são iguais a, a derivada em existe e é .
Passo 7
Juntando tudo numa forma clara (peça por peça). Uma forma compacta alternativa é
onde
é a função sinal (com
). Mas vou apresentar a forma explícita por ramos, que fica mais direta para usar na prova.