Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
f(x)=\sqrt[5]{x^{6}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt[5]{x^{6}} e pede para determinar a derivada f'(x). Informação importante extraída do enunciado:
  • A função é f(x)=\sqrt[5]{x^{6}}.
  • Preciso encontrar f'(x) para todo x no domínio da função.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que fica mais fácil de derivar. Observe que
f(x)=\sqrt[5]{x^{6}}=(x^{6})^{1/5}.
Como x^{6}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, a raiz quinta de x^{6} é bem definida para todo real e é igual a
f(x)=|x|^{6/5}.
Explicando: usar a potência fracionária (x^{6})^{1/5} dá o mesmo que |x|^{6/5} — isso garante que a expressão faça sentido para x<0 (a raiz de índice ímpar existe, e o resultado é sempre não negativo porque x^{6} já é não negativo).

Passo 3

Estratégia para derivar: como apareceu valor absoluto, é natural derivar a função em partes (piecewise):
  • para x>0 podemos usar diretamente a regra da potência em x^{6/5};
  • para x<0 escrevemos f(x)=(-x)^{6/5} e usamos a regra da cadeia (derivada de uma potência composta com -x);
  • em x=0 precisamos checar a derivabilidade pelo limite do quociente incremental.
Vou lembrar rapidamente as regras que vou usar (com linguagem simples):
  • Regra da potência: se g(x)=x^{n} com constante real n, então
g'(x)=n x^{n-1},
para pontos onde a expressão está bem definida. Aqui n=\tfrac{6}{5}.
  • Regra da cadeia (forma curta): se h(x)=H(u(x)) então
h'(x)=H'(u(x))\cdot u'(x).
Usarei isto quando u(x)=-x.

Passo 4

Derivada para x>0.
Para x>0 temos f(x)=x^{6/5}. Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{6}{5}:
f'(x)=\frac{6}{5}\,x^{\frac{6}{5}-1}=\frac{6}{5}\,x^{\frac{1}{5}}.

Passo 5

Derivada para x<0.
Para x<0 é conveniente escrever f(x)=(-x)^{6/5}. Tome H(u)=u^{6/5} e u(x)=-x. Então H'(u)=\tfrac{6}{5}u^{1/5} e u'(x)=-1. Pela regra da cadeia:
f'(x)=H'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{6}{5}(-x)^{1/5}\cdot(-1)=-\frac{6}{5}(-x)^{1/5}.
Note que para x<0 tem-se -x>0, então (-x)^{1/5} está bem definido e positivo.

Passo 6

Derivada em x=0.
Precisamos verificar se o limite do quociente incremental existe:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|^{6/5}}{h}.
Calcule as duas direções:
  • Para h>0: \dfrac{|h|^{6/5}}{h}=\dfrac{h^{6/5}}{h}=h^{1/5}\to 0 quando h\to 0^{+}.
  • Para h<0: escreva h=-t com t>0. Então \dfrac{|h|^{6/5}}{h}=\dfrac{t^{6/5}}{-t}=-t^{1/5}\to 0 quando t\to 0^{+}.
    Como os limites lateral esquerdo e direito são iguais a 0, a derivada em 0 existe e é 0.

Passo 7

Juntando tudo numa forma clara (peça por peça). Uma forma compacta alternativa é
f'(x)=\frac{6}{5}\,|x|^{1/5}\operatorname{sgn}(x),
onde \operatorname{sgn}(x) é a função sinal (com \operatorname{sgn}(0)=0). Mas vou apresentar a forma explícita por ramos, que fica mais direta para usar na prova.

Resposta

f'(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{6}{5}\,x^{1/5}, & x>0,\\[6pt] 0, & x=0,\\[6pt] \displaystyle -\frac{6}{5}\,(-x)^{1/5}, & x<0. \end{cases}]

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