Dado o sistema homogêneo: cx-y-z=0 3 x-y=0 2 x-4 y-5 z=0
Qual a dimensão do conjunto-solução do sistema?

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo de três equações e três variáveis e pede a dimensão do conjunto-solução, ou seja, a dimensão do núcleo da matriz dos coeficientes. Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto () da matriz e depois aplicar o Teorema do Núcleo

Passo 2

Construímos a matriz dos coeficientes:
A = 1 & -1 & -1 3 & -1 & 0 2 & -4 & -5
e aplicamos operações elementares: substituímos R 2 por R 2 - 3cdotR 1 e R 3 por R 3 - 2cdotR 1, obtendo
1 & -1 & -1 0 & 2 & 3 0 & -2 & -3

Passo 3

Somando a terceira linha com a segunda linha, eliminamos toda a terceira linha e chegamos à forma escalonada:
Os pivôs estão na primeira e na segunda colunas, logo .

Passo 4

Aplicando o Teorema do Núcleo em :

Resposta

A dimensão do conjunto-solução do sistema é 1.

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