Seja pT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-5) lambda, para lambda in C, o polinômio característico do operador linear T in L(V), onde dim V(2)=2.
Qual a dimensão do espaço vetorial real (V,+, cdot) ?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T em um espaço vetorial real V cujo polinômio característico é
pT(lambda)=(lambda-2)^3(lambda-5),lambda
Aqui vemos que os autovalores são 2 (multiplicidade algébrica 3), 5 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 1). Além disso, foi informado que a multiplicidade geométrica de 2 é 2, mas o que precisamos é a dimensão de V.

Passo 2

Em teoria de operadores lineares, o grau do polinômio característico de T é igual à dimensão do espaço vetorial sobre o corpo de escalares (aqui R). Como
deg pT = 3 + 1 + 1 = 5,
concluímos que dimRV=5.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial real V é 5.

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