Seja T: mathscrP3(R) mathscrP3(R), dada por T(p)=p^prime, para p in mathscrP3(R). Calcule [T]B, em que B é a base canônica. Qual é a forma canônica de Jordan do operador linear T ?

Passo 1

O enunciado define o operador linear
;T:mathscrP3(R)tomathscrP3(R),
;T(p)=p', sobre o espaço das polinômios de grau <=3, na base canônica
;B=(1,x,x^2,x^3). Vamos calcular as imagens de cada vetor da base, montar a matriz de T em B e, em seguida, determinar sua forma canônica de Jordan.

Passo 2

Calculamos as derivadas dos polinômios da base:
T(1)=0, T(x)=1, T(x^2)=2x, T(x^3)=3x^2

Passo 3

Escrevendo cada T(x^k) em coordenadas na base B e organizando como colunas, obtemos
[T]B = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

O operador T é nilpotente de ordem 4, porque
;T^4(p)=0 para todo p, mas ;T^3(x^3)=6neq0.
Além disso
dimker T=1, dimker T^2=2, dimker T^3=3, dimker T^4=4,
o que mostra que existe exatamente uma cadeia de Jordan de comprimento 4 associada ao autovalor ,0.

Passo 5

Logo, a forma canônica de Jordan de T consiste em um único bloco de Jordan de tamanho 4 para o valor próprio ,0:
J ;=; 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

[T]B = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 ,
e a forma canônica de Jordan de T é
J = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0

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