Dado o sistema
l x+2 y+3 z=1 2 x+4 y+6 z=2 3 x+6 y+9 z=3
Determine o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. O sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
x + 2y + 3z = 1, 2x + 4y + 6z = 2, 3x + 6y + 9z = 3,
e pede o posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada, além de classificar o sistema (única solução, infinitas ou nenhuma). O conteúdo necessário é cálculo de posto por eliminação ou observação de dependência linear e aplicação do Teorema de Rouché– Capelli.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b]:
A = 1 & 2 & 3 [6pt] 2 & 4 & 6 [6pt] 3 & 6 & 9 , [Amid b] = 1 & 2 & 3 & 1[6pt] 2 & 4 & 6 & 2[6pt] 3 & 6 & 9 & 3 ]

Passo 3

Note que cada linha de A é múltiplo da primeira:
  • linha 2= 2timeslinha 1
  • linha 3= 3timeslinha 1
Logo há apenas uma linha independente e
posto(A) = 1
Como a coluna de termos independentes (1,2,3) segue a mesma proporcionalidade, também
posto([A|b]) = 1

Passo 4

Pelo Teorema de Rouché– Capelli, como
posto(A)=posto([Amid b])=1 e esse valor é menor que o número de incógnitas ( 3), o sistema é compatível indeterminado, isto é, tem infinitas soluções.

Resposta

posto(A)=1 posto([A|b])=1
O sistema possui infinitas soluções.

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