Dado o sistema \left\{\begin{array}{c}2 x+5 y=1 \\\\ 2 x+z=3 \\\\ 5 x+y-z=0\end{array}\right. escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza a forma escalonada para resolver o sistema original.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 2x + 5y = 1,\\\\ 2x + z = 3,\\\\ 5x + y - z = 0 \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss: primeiro escrevemos a matriz ampliada, depois aplicamos operações de linha para chegar a uma forma escalonada, e por fim usamos substituição reversa para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada associada ao sistema, colocando os coeficientes de x,y,z e o termo independente à direita da barra:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 0 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos a primeira linha como pivô para zerar os termos da coluna de x nas linhas 2 e 3.
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{5}{2}R_1.
Isso produz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 0 & 1\\\\ 0 & -5 & 1 & 2\\\\ 0 & -\tfrac{23}{2} & -1 & -\tfrac{5}{2} \end{array}\right].

Passo 4

Usamos agora a segunda linha como pivô para zerar o coeficiente de y na terceira linha. A operação é
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{-\tfrac{23}{2}}{-5}\,R_2 = R_3 - \frac{23}{10}\,R_2.
O resultado é a forma escalonada final:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 0 & 1\\\\ 0 & -5 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{33}{10} & -\tfrac{71}{10} \end{array}\right].

Passo 5

Agora fazemos substituição reversa na forma triangular:
Da terceira linha vem
-\tfrac{33}{10}z = -\tfrac{71}{10} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{71}{33}.
Substituindo na segunda linha,
-5y + z = 2 \quad\Longrightarrow\quad -5y + \frac{71}{33} = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{33}.
Por fim, substituímos na primeira linha:
2x + 5y = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 5\cdot\frac{1}{33} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{14}{33}.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{14}{33},\,\tfrac{1}{33},\,\tfrac{71}{33}\Bigr).

Exercícios relacionados