Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{cc}6 & 12 \\\\ -2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}6 & 12 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é inversível usando o determinante e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. O conteúdo envolve cálculo de determinante de matriz 2\times2 e aplicação da fórmula do inverso.

Passo 2

Para matriz 2\times2, o determinante é
\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.
Aqui a_{11}=6, a_{12}=12, a_{21}=-2, a_{22}=4. Logo
\det(A) = 6\cdot4 - 12\cdot(-2) = 24 + 24 = 48.

Passo 3

Como \det(A)=48 \neq 0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

A fórmula do inverso de matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix}.
Substituindo os coeficientes e \det(A)=48:
A^{-1} = \frac{1}{48} \begin{pmatrix}4 & -12 \\\\ 2 & 6\end{pmatrix}.

Passo 5

Simplificando cada entrada:
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{48} & \frac{-12}{48} \\[6pt] \frac{2}{48} & \frac{6}{48} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{12} & -\tfrac{1}{4} \\[3pt] \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{8} \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz é inversível, e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{12} & -\tfrac{1}{4} \\[3pt] \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{8} \end{pmatrix}.]

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