Dado um sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=f(x(t), y(t)) \\\ y^{\prime}(t)=g(x(t), y(t)) \end{array}\right.
O Teorema de Hartman-Grobman possibilita classificar cada um dos pontos de equilíbrio ( x_{e q-j}, y_{e q-j} ) de um sistema não linear: através de sua linearização no ponto de equilíbrio ( x_{e q}, y_{e q} ), da qual é dada por
\begin{aligned} \left(x(t)-x_{e q}\right)^{\prime} & \equiv \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{e q}, y_{e q}\right)\left(x(t)-x_{e q}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{e q}, y_{e q}\right)\left(y(t)-y_{e q}\right) \\\ \left(y(t)-y_{e q}\right)^{\prime} & \equiv \frac{\partial g}{\partial x}\left(x_{e q}, y_{e q}\right)\left(x(t)-x_{e q}\right)+\frac{\partial g}{\partial y}\left(x_{e q}, y_{e q}\right)\left(y(t)-y_{e q}\right) \end{aligned}
observando o sinal de dos autovalores da matriz Jacobiana J f\left(x_{e q}, y_{e q}\right)=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] acima. (a) Encontre os dois pontos de equilíbrio do seguinte sistema não linear.
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=4-x(t)-y(t) \\\ y^{\prime}(t)=3-x(t) y(t) \end{array}\right.
(b) Classifique cada um destes dois pontos de equilíbrio conforme a classificação dada na introdução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não linear
\begin{cases} x'(t)=4 - x(t) - y(t),\\\ y'(t)=3 - x(t)\,y(t), \end{cases}
e pede (a) os pontos de equilíbrio, isto é, as soluções de
4 - x - y = 0, \quad 3 - x\,y = 0,
e (b) a classificação de cada ponto segundo o Teorema de Hartman– Grobman, que usa a linearização via a matriz Jacobiana
Jf(x,y) =\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}.]

Passo 2

Para achar os equilíbrios resolvemos simultaneamente
4 - x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 4 - x,
3 - x\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,y = 3.
Substituindo y=4-x em x(4-x)=3 obtemos
4x - x^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x-3)=0.
Logo x=1 ou x=3. Para x=1 vem y=3, e para x=3 vem y=1. Assim os pontos de equilíbrio são
(1,3) \quad\text{e}\quad (3,1).

Passo 3

Calculamos a matriz Jacobiana em geral. Como
f(x,y)=4 - x - y, \quad g(x,y)=3 - x\,y,
temos
\frac{\partial f}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial g}{\partial x} = -y, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -x.
Portanto
Jf(x,y) =\begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -\,y & -\,x \end{pmatrix}.

Passo 4

Em (x,y)=(1,3) a Jacobiana vale
Jf(1,3) =\begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -3 & -1 \end{pmatrix}.
O traço é \tau=-1+(-1)=-2<0 e o determinante é
\Delta =(-1)(-1)-(-1)(-3)=1-3=-2<0.
Como \Delta<0, os autovalores têm sinais opostos e o equilíbrio (1,3) é um ponto de sela (instável).

Passo 5

Em (x,y)=(3,1) a Jacobiana vale
Jf(3,1) =\begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -1 & -3 \end{pmatrix}.
O traço é \tau=-1+(-3)=-4<0 e o determinante é
\Delta =(-1)(-3)-(-1)(-1)=3-1=2>0.
Como \Delta>0 e \tau<0, os dois autovalores são reais e negativos, logo (3,1) é um nó estável (sumidouro assintoticamente estável).

Resposta

Os dois pontos de equilíbrio são (1,3) e (3,1).
(1,3) é um ponto de sela (instável).
(3,1) é um nó estável (assintoticamente estável).

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