Dado um sistema
O Teorema de Hartman-Grobman possibilita classificar cada um dos pontos de equilíbrio (
) de um sistema não linear: através de sua linearização no ponto de equilíbrio (
), da qual é dada por
observando o sinal de dos autovalores da matriz Jacobiana
acima. (a) Encontre os dois pontos de equilíbrio do seguinte sistema não linear.
(b) Classifique cada um destes dois pontos de equilíbrio conforme a classificação dada na introdução.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema não linear
e pede (a) os pontos de equilíbrio, isto é, as soluções de
e (b) a classificação de cada ponto segundo o Teorema de Hartman– Grobman, que usa a linearização via a matriz Jacobiana
Passo 2
Para achar os equilíbrios resolvemos simultaneamente
Substituindo
em
obtemos
Logo
ou
. Para
vem
, e para
vem
. Assim os pontos de equilíbrio são
Passo 3
Calculamos a matriz Jacobiana em geral. Como
temos
Portanto
Passo 4
Em
a Jacobiana vale
O traço é
e o determinante é
Como
, os autovalores têm sinais opostos e o equilíbrio
é um ponto de sela (instável).
Passo 5
Em
a Jacobiana vale
O traço é
e o determinante é
Como
e
, os dois autovalores são reais e negativos, logo
é um nó estável (sumidouro assintoticamente estável).
Resposta
Os dois pontos de equilíbrio são
e
.
é um ponto de sela (instável).
é um nó estável (assintoticamente estável).