Encontre a solução do seguinte pvi que se trata de um sistema linear para duas funções incógnitas x(t) e y(t) :
[Nó impróprio estável]
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=-4 x(t)-4 y(t) \\\ y^{\prime}(t)=1 x(t)+0 y(t) \\\ x(0)=0 \\\ y(0)=1.4 \end{array}\right.
Faça o mesmo roteiro com os mesmos itens que você fez na Questão 1, mas agora para este pvi diretamente acima. adapte o chute usando y_{h 2}(t)=t e^{-2 t}.

Passo 1

Temos o PVI
\begin{cases} x' = -4x - 4y,\\\ y' = x,\\\ x(0)=0,\quad y(0)=1.4. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, escrevemos X' = AX, com
A = \begin{pmatrix}-4 & -4 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},
e procuramos autovalores, autovetores e, por termos raiz dupla, também vetor generalizado.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A pela equação característica
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-4-\lambda & -4 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-4-\lambda)(-\lambda) - (-4)\cdot1 = \lambda^2 +4\lambda +4 = 0.
Assim \lambda_1 = \lambda_2 = -2.]

Passo 3

Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 + 2v_2 = 0.
Escolhemos v = (-2,1)^T.]

Passo 4

Como só há um autovetor, buscamos vetor generalizado w tal que (A+2I)w = v.
Resolvendo
\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix},
podemos tomar w = (1,0)^T.]

Passo 5

A solução geral homogênea fica então
X_h(t) = C_1 e^{-2t}\,v + C_2\bigl(t e^{-2t}\,v + e^{-2t}\,w\bigr).
Aqui usamos o chute t e^{-2t} para gerar a segunda solução associada à raiz dupla.

Passo 6

Escrevendo X(t)=(x(t),y(t))^T e aplicando X(0)=(0,1.4)^T, obtemos
X(0)=C_1 v + C_2 w = \begin{pmatrix}-2C_1 + C_2 \\[4pt] C_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1.4\end{pmatrix},
isto é
\begin{cases} -2C_1 + C_2 = 0,\\\ C_1 = 1.4. \end{cases}]

Passo 7

Da segunda equação vem C_1=1.4. Da primeira segue C_2=2.8. Substituindo em X_h, achamos
x(t) = -5.6\,t\,e^{-2t}, \quad y(t) = (1.4 + 2.8\,t)\,e^{-2t}.

Resposta

x(t) = -5.6\,t\,e^{-2t}, \qquad y(t) = (1.4 + 2.8\,t)\,e^{-2t}.

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