Dado o sistema linear abaixo, resolva-o usando eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+y-z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas. O conteúdo é resolução de sistema por eliminação de Gauss, que consiste em montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para triangularizar e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\\\ 2 & -1 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos a variável x das equações 2 e 3 usando operações em linha. Fazemos
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1},
obtendo a matriz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\\\ 0 & -3 & -1 & -9 \\\\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right]

Passo 4

A terceira linha dá diretamente
-2\,z = -6,
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z = 3.

Passo 5

Substituindo z=3 na segunda linha,
-3\,y - 1\cdot 3 = -9
temos -3\,y = -6 e
y = 2.

Passo 6

Finalmente, substituindo y=2 e z=3 na primeira equação x + y + z = 6, obtemos
x + 2 + 3 = 6
e
x = 1.

Resposta

\displaystyle x = 1,\quad y = 2,\quad z = 3.

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