Dado o sistema linear:
\begin{cases}x+2 y+z & =5 \\\\ 2 x+3 y-z & =0\end{cases}
(b) Verifique que (-5,4,2) é uma solução desse sistema, mas (1,1,1) não é.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+2y+z=5\\[4pt] 2x+3y-z=0 \end{cases}
e pede para verificar se os pares ordenados (na verdade triplas) (-5,4,2) e (1,1,1) são soluções do sistema.
Informações dadas:
  • As duas equações acima são as restrições que qualquer solução (x,y,z) deve satisfazer.
  • As triplas a testar são (-5,4,2) e (1,1,1).
O que significa “verificar que uma tripla (x,y,z) é solução”? Significa substituir x,y,z pelos valores propostos nas duas equações e conferir se os dois lados de cada equação ficam iguais. Se as duas equações ficarem verdadeiras com essa substituição, a tripla é solução; se alguma equação deixar de ser verdadeira, então não é solução.]

Passo 2

Vamos testar a primeira tripla (-5,4,2) na primeira equação. Substituímos x=-5, y=4, z=2 em
x+2y+z.
Calculando passo a passo:
(-5)+2\cdot(4)+2 = -5 + 8 + 2.
Agora somamos em ordem:
-5 + 8 = 3,\quad 3 + 2 = 5.
Portanto a primeira equação fica 5=5, que é verdadeira.

Passo 3

Agora testamos a mesma tripla (-5,4,2) na segunda equação. Substituímos em
2x+3y-z.
Calculando:
2\cdot(-5)+3\cdot(4)-2 = -10 + 12 - 2.
Somando:
-10 + 12 = 2,\quad 2 - 2 = 0.
Logo a segunda equação fica 0=0, que também é verdadeira. Conclusão parcial: (-5,4,2) satisfaz ambas as equações, logo é solução do sistema.

Passo 4

Agora testamos a tripla (1,1,1). Primeiro na primeira equação:
x+2y+z = 1 + 2\cdot1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
A equação exige que o resultado seja 5, mas obtivemos 4. Como 4\neq 5, a primeira equação não é satisfeita; portanto (1,1,1) já não é solução do sistema. (Para completar, podemos ver também a segunda equação:)
2x+3y-z = 2\cdot1 + 3\cdot1 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4,
e a segunda exigia 0, então 4\neq 0 também falha.

Passo 5

Resumo do raciocínio: uma tripla é solução se e somente se, ao substituir os valores nas duas expressões do sistema, ambas as igualdades ficam verdadeiras. Fizemos esta substituição para as duas triplas dadas e verificamos os resultados.

Resposta

(-5,4,2) é solução do sistema.
(1,1,1) não é solução do sistema.

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