Dado o sistema linear

Determine os valores de (caso existam) para os quais o sistema admita
infinitas soluções;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y = 3, x + l(a^2-8r),y = a
O conteúdo aqui é compatibilidade de sistemas lineares em função de parâmetro a. Vamos usar determinante da matriz dos coeficientes para achar quando o sistema é singular e, em seguida, verificar a condição de consistência para obter infinitas soluções.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 1 & a^2-8
e calculamos seu determinante:
det A = 1 & 1 1 & a^2-8 = 1cdotl(a^2-8r) - 1cdot1 = a^2-9

Passo 3

Para o sistema ter infinitas soluções, primeiro precisamos de det A=0. Da equação
a^2-9 = 0
segue
a^2=9 Longrightarrow a = 3 ou a = -3

Passo 4

Quando det A=0 o sistema pode ser ou inexistente ou ter infinitas soluções. Verificamos cada caso:
  • Se a=3, então a^2-8 = 9-8 = 1 e o segundo equação fica
    x + 1cdot y = 3,
    que é exatamente a primeira equação. Logo o sistema é dependente e compatível, com infinitas soluções.
  • Se a=-3, então a^2-8 = 9-8 = 1 e o segundo equação fica
    x + 1cdot y = -3,
    enquanto a primeira é x+y=3. Essas duas retas são paralelas e distintas, tornando o sistema impossível.

Resposta

O sistema admite infinitas soluções somente para
a = 3

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