Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver o sistema:
\left\{\begin{array}{rl} 2 x+y+3 z & =8 \\\\ 4 x+2 y-2 z & =4 \\\\ 2 x+5 y+3 z & =-12 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + 3z = 8,\\\\ 4x + 2y - 2z = 4,\\\\ 2x + 5y + 3z = -12 \end{cases}
usando eliminação de Gauss–Jordan. O objetivo é transformar a matriz ampliada numa forma reduzida por linhas (RREF) e, a partir daí, ler diretamente os valores de x, y e z.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 8\\\\ 4 & 2 & -2 & 4\\\\ 2 & 5 & 3 & -12 \end{array}\right].

Passo 3

Primeiro, normalizamos o pivô da primeira linha dividindo-a por 2 e eliminamos x das outras linhas:
R_1 \gets \frac{1}{2}R_1,\quad R_2 \gets R_2 - 4R_1,\quad R_3 \gets R_3 - 2R_1.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac12 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & 0 & -8 & -12\\\\ 0 & 4 & 0 & -20 \end{array}\right].

Passo 4

Para ter o pivô em y, trocamos as linhas R_2 e R_3, depois dividimos a nova R_2 por 4:
R_2 \leftrightarrow R_3,\quad R_2 \gets \tfrac{1}{4}R_2.
Ficamos com
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac12 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & -5\\\\ 0 & 0 & -8 & -12 \end{array}\right].

Passo 5

Agora normalizamos o pivô em z dividindo R_3 por -8:
R_3 \gets -\tfrac{1}{8}R_3,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac12 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac32 \end{array}\right].

Passo 6

Para ficar na forma reduzida, eliminamos as entradas acima do pivô z. Como só aparece em R_1, fazemos
R_1 \gets R_1 - \tfrac32\,R_3,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{17}{4}\\\\ 0 & 1 & 0 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac32 \end{array}\right].
Agora a matriz está em forma reduzida por linhas e os valores de x,y,z aparecem na coluna ampliada.

Resposta

x = \tfrac{17}{4},\quad y = -5,\quad z = \tfrac{3}{2}.

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