Dado o sistema linear
0,0
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 2 & -3 \\\\ -2 & 0 & -1 & 4 \\\\ 4 & 5 & 6 & -1 \\\\ 6 & 2 & 3 & -4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\\\ -1 \\\\ -11 \\\\ -11 \end{array}\right)
encontre sua solução através do método da eliminação de Gauss. Encontre também a fatoração LU da matriz de coeficientes.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com matriz de coeficientes e vetor de termos independentes. As perguntas são:
  • Resolver o sistema por eliminação de Gauss.
  • Encontrar a fatoração LU da matriz de coeficientes.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3 \\\\ -2 & 0 & -1 & 4 \\\\ 4 & 5 & 6 & -1 \\\\ 6 & 2 & 3 & -4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -11\\\ -11\end{pmatrix}.

Passo 2

Rápida revisão (didática e prática) do que vamos usar:
  • Eliminação de Gauss transforma o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} em um sistema triangular superior U\mathbf{x}=\mathbf{c} aplicando operações elementares sobre as linhas. Essas operações correspondem a subtrair múltiplos da linha-pivô de linhas abaixo.
  • Cada vez que subtraímos um múltiplo m da linha i pela linha k (linha-pivô), esse m é exatamente o elemento L_{i,k} da matriz L na fatoração A=LU. Em L colocamos 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo da diagonal.
  • Depois de obter U resolvemos U\mathbf{x}=\mathbf{c} por substituição regressiva.
Vou executar a eliminação passo a passo, anotando os multiplicadores para montar L.

Passo 3

Primeiro passo de eliminação (pivot na linha 1).
O pivô inicial é a_{11}=2 (não é zero). Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-2}{2}=-1,\quad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{4}{2}=2,\quad m_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{6}{2}=3.
Aplicamos as operações: \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1 para i=2,3,4, e também atualizamos \mathbf{b} da mesma forma.
Cálculos das novas linhas (mostro as contas):
  • Linha 2: (-2,0,-1,4) - (-1)\cdot(2,1,2,-3) = (-2,0,-1,4) + (2,1,2,-3) = (0,1,1,1).
    Termo independente: -1 - (-1)(-1) = -1 - 1 = -2.
  • Linha 3: (4,5,6,-1) - 2\cdot(2,1,2,-3) = (4,5,6,-1) - (4,2,4,-6) = (0,3,2,5).
    Termo independente: -11 - 2(-1) = -11 +2 = -9.
  • Linha 4: (6,2,3,-4) - 3\cdot(2,1,2,-3) = (6,2,3,-4) - (6,3,6,-9) = (0,-1,-3,5).
    Termo independente: -11 - 3(-1) = -11 +3 = -8.
Matriz e vetor após o Passo 1:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 2 & 5\\\\ 0 & -1 & -3 & 5 \end{pmatrix} \qquad \text{com} \qquad \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -9\\\ -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Segundo passo de eliminação (pivot na linha 2).
O pivô é agora a_{22}=1 (não é zero). Calculamos multiplicadores para zerar abaixo:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{3}{1}=3,\quad m_{42}=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{-1}{1}=-1.
Aplicamos \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i2}\cdot\text{linha}_2 para i=3,4 e atualizamos os termos independentes.
Cálculos:
  • Linha 3: (0,3,2,5) - 3\cdot(0,1,1,1) = (0,3,2,5) - (0,3,3,3) = (0,0,-1,2).
    Termo independente: -9 - 3(-2) = -9 +6 = -3.
  • Linha 4: (0,-1,-3,5) - (-1)\cdot(0,1,1,1) = (0,-1,-3,5) + (0,1,1,1) = (0,0,-2,6).
    Termo independente: -8 - (-1)(-2) = -8 -2 = -10.
Agora a matriz e vetor ficam:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & -2 & 6 \end{pmatrix} \qquad \text{com} \qquad \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\\\ -10\end{pmatrix}.

Passo 5

Terceiro passo de eliminação (pivot na linha 3).
O pivô é a_{33}=-1 (não é zero). Calculamos o multiplicador para zerar abaixo:
m_{43}=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{-2}{-1}=2.
Aplicamos \text{linha}_4 \leftarrow \text{linha}_4 - m_{43}\cdot\text{linha}_3 e atualizamos o termo independente.
Cálculo:
  • Linha 4: (0,0,-2,6) - 2\cdot(0,0,-1,2) = (0,0,-2,6) - (0,0,-2,4) = (0,0,0,2).
    Termo independente: -10 - 2(-3) = -10 +6 = -4.
Agora a matriz triangular superior U e o vetor resultante são:
U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\\\ -4\end{pmatrix}.
Os multiplicadores obtidos (que irão formar L) foram:
m_{21}=-1,\; m_{31}=2,\; m_{41}=3,\; m_{32}=3,\; m_{42}=-1,\; m_{43}=2.

Passo 6

Substituição regressiva para resolver U\mathbf{x}=\mathbf{c}.
Escrevo as equações de baixo para cima.
4ª linha: \;2x_4 = -4.
Logo
x_4 = \frac{-4}{2} = -2.
3ª linha: \; -1\cdot x_3 + 2\cdot x_4 = -3.
Substituindo x_4=-2:
- x_3 + 2(-2) = -3 \;\Rightarrow\; -x_3 -4 = -3 \;\Rightarrow\; -x_3 = 1 \;\Rightarrow\; x_3 = -1.
2ª linha: \; x_2 + x_3 + x_4 = -2.
Substituindo x_3=-1,\;x_4=-2:
x_2 + (-1) + (-2) = -2 \;\Rightarrow\; x_2 -3 = -2 \;\Rightarrow\; x_2 = 1.
1ª linha: \;2x_1 + x_2 + 2x_3 -3x_4 = -1.
Substituindo x_2=1,\;x_3=-1,\;x_4=-2:
2x_1 + 1 + 2(-1) -3(-2) = -1
2x_1 + 1 -2 +6 = -1 \;\Rightarrow\; 2x_1 +5 = -1 \;\Rightarrow\; 2x_1 = -6 \;\Rightarrow\; x_1 = -3.
(Estas contas mostraram os valores individuais das incógnitas.)

Passo 7

Montagem da fatoração A=LU a partir dos multiplicadores:
  • L tem 1s na diagonal e os m_{ij} nas posições abaixo da diagonal, na mesma ordem que usamos os pivôs.
  • Os multiplicadores foram anotados nos passos anteriores.
Assim,
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0 & 0\\\ m_{31} & m_{32} & 1 & 0\\\ m_{41} & m_{42} & m_{43} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 3 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Relembrando U encontrado no Passo 5:
U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Um rápido cheque mental: multiplicando L por U recuperamos A (pode-se conferir termo a termo, como visto no raciocínio da eliminação).

Resposta

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

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