(use 5 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=2 x-y \\\ y(1,5)=4\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(3) para h=0,5 usando os métodos a seguir:
Método de Runge-Kutta de 3^{\underline{a}} ordem.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar y(3)\) para o problema de valor inicial \[\begin{cases} y'(x)=2x-y,\\[4pt] y(1,5)=4, \end{cases}
usando passo h=0,5\] e o método de Runge–Kutta de 3ª ordem. Informações fornecidas e o que precisamos usar: - A função derivada é \(f(x,y)=2x-y.
- Condição inicial: x_0=1,5 e y_0=4.
- Passo: h=0,5.
- Ponto alvo: x=3.
- Número de passos: N=\dfrac{3-1,5}{0,5}=3 (vamos de x=1,5 a x=2,0 a x=2,5 a x=3,0).
Não vou resolver nada ainda aqui; só organizei os dados que usaremos.]

Passo 2

Apresentação do método (fórmula que vamos aplicar) e significado das quantidades. O método de Runge–Kutta de 3ª ordem que usaremos tem as etapas:
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\[4pt] k_2 &= f\!\left(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\right),\\[4pt] k_3 &= f\!\left(x_n+h,\,y_n-h k_1+2h k_2\right), \end{aligned}
e a atualização
y_{n+1}=y_n+\dfrac{h}{6}\big(k_1+4k_2+k_3\big).
Explicação do que é cada coisa (sem pular etapas):
  • h é o tamanho do passo (aqui h=0,5).
  • x_n e y_n são as coordenadas atuais; x_{n+1}=x_n+h.
  • k_1 é a inclinação no começo do intervalo (x_n,y_n).
  • k_2 avalia a inclinação em um ponto médio aproximado \big(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\big).
  • k_3 avalia a inclinação no final do intervalo usando uma combinação que dá ordem 3.
  • A combinação \dfrac{h}{6}(k_1+4k_2+k_3) é a média ponderada das inclinações que nos dá a melhor aproximação de y_{n+1} com erro do método proporcional a h^4 por passo (ordem global 3).
    Agora aplicamos essa rotina passo a passo para os três passos necessários. Vou arredondar os resultados a 5 casas decimais, conforme pedido (uso vírgula para separador decimal).]

Passo 3

Primeiro passo: de x_0=1,5 para x_1=2,0, com y_0=4,00000.
Calcule k_1,k_2,k_3 usando f(x,y)=2x-y.
\begin{aligned} k_1 &= f(1,5,\,4,00000)=2\cdot 1,5-4,00000=3,0-4,00000=-1,00000.\\[6pt] \text{Para }k_2:&\quad x=1,5+\tfrac{h}{2}=1,75,\quad y=4,00000+\tfrac{0,5}{2}(-1,00000)=4,00000-0,25000=3,75000.\\\ k_2 &= f(1,75,\,3,75000)=2\cdot 1,75-3,75000=3,5-3,75000=-0,25000.\\[6pt] \text{Para }k_3:&\quad x=1,5+0,5=2,0,\\\ y&=4,00000-0,5\cdot(-1,00000)+2\cdot0,5\cdot(-0,25000)=4,00000+0,50000-0,25000=4,25000.\\\ k_3 &= f(2,0,\,4,25000)=2\cdot 2,0-4,25000=4,0-4,25000=-0,25000. \end{aligned}
Agora a atualização:
\begin{aligned} y_1 &= 4,00000+\dfrac{0,5}{6}\big(-1,00000+4(-0,25000)+(-0,25000)\big)\\[6pt] &=4,00000+\dfrac{0,5}{6}\big(-1,00000-1,00000-0,25000\big)\\[4pt] &=4,00000+\dfrac{0,5}{6}(-2,25000)=4,00000+\dfrac{-1,12500}{6}=4,00000-0,18750\\[4pt] &=3,81250. \end{aligned}
Resultado do passo 1: x_1=2,0,\;y_1=3,81250.]

Passo 4

Segundo passo: de x_1=2,0 para x_2=2,5, com y_1=3,81250.
\begin{aligned} k_1 &= f(2,0,\,3,81250)=2\cdot 2,0-3,81250=4,0-3,81250=0,18750.\\[6pt] \text{Para }k_2:&\quad x=2,0+0,25=2,25,\quad y=3,81250+0,25\cdot 0,18750=3,81250+0,046875=3,859375.\\\ k_2 &= f(2,25,\,3,859375)=2\cdot 2,25-3,859375=4,5-3,859375=0,640625\approx 0,64062.\\[6pt] \text{Para }k_3:&\quad y=3,81250-0,5\cdot 0,18750+2\cdot0,5\cdot 0,640625\\\ &=3,81250-0,09375+0,640625=4,359375.\\\ k_3 &= f(2,5,\,4,359375)=2\cdot 2,5-4,359375=5,0-4,359375=0,640625\approx 0,64062. \end{aligned}
Atualização:
\begin{aligned} y_2 &= 3,81250+\dfrac{0,5}{6}\big(0,18750+4\cdot 0,640625+0,640625\big)\\[6pt] &=3,81250+\dfrac{0,5}{6}\big(0,18750+2,5625+0,640625\big)\\[4pt] &=3,81250+\dfrac{0,5}{6}(3,390625)=3,81250+\dfrac{1,6953125}{6}\\[4pt] &=3,81250+0,282552083333\ldots=4,095052083333\ldots\approx 4,09505. \end{aligned}
Resultado do passo 2: x_2=2,5,\;y_2\approx 4,09505.]

Passo 5

Terceiro passo: de x_2=2,5 para x_3=3,0, com y_2\approx 4,095052083333 (usamos a precisão necessária internamente, e arredondamos ao final deste passo).
\begin{aligned} k_1 &= f(2,5,\,4,095052083333)=2\cdot 2,5-4,095052083333=5,0-4,095052083333=0,904947916667\approx 0,90495.\\[6pt] \text{Para }k_2:&\quad x=2,5+0,25=2,75,\\\ y&=4,095052083333+0,25\cdot 0,904947916667=4,095052083333+0,226236979167=4,321289062500.\\\ k_2 &= f(2,75,\,4,321289062500)=2\cdot 2,75-4,321289062500=5,5-4,321289062500=1,178710937500\approx 1,17871.\\[6pt] \text{Para }k_3:&\quad y=4,095052083333-0,5\cdot 0,904947916667+2\cdot0,5\cdot 1,178710937500\\\ &=4,095052083333-0,452473958333+1,178710937500=4,821289062500.\\\ k_3 &= f(3,0,\,4,821289062500)=2\cdot 3,0-4,821289062500=6,0-4,821289062500=1,178710937500\approx 1,17871. \end{aligned}
Atualização final:
\begin{aligned} y_3 &= 4,095052083333+\dfrac{0,5}{6}\big(0,904947916667+4\cdot 1,178710937500+1,178710937500\big)\\[6pt] &=4,095052083333+\dfrac{0,5}{6}\big(0,904947916667+4,71484375+1,1787109375\big)\\[4pt] &=4,095052083333+\dfrac{0,5}{6}(6,798502604167)\\[4pt] &=4,095052083333+\dfrac{3,3992513020835}{6}=4,095052083333+0,566541883681\\[4pt] &=4,661593967014\approx 4,66159. \end{aligned}
Resultado do passo 3 (valor aproximado em x_3=3,0): y_3\approx 4,66159.]

Resposta

y(3)\approx 4,66159

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