(use 5 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=2 x-y \\\ y(1,5)=4\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(3) para h=0,5 usando os métodos a seguir:
Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede uma aproximação de y(3) usando o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) com passo h=0{,}5. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial: y'(x)=2x-y.
  • A condição inicial: y(1{,}5)=4.
  • O passo para o método numérico: h=0{,}5.
    A pergunta é: obter uma aproximação numérica de y(3) usando o método de Heun com os dados acima.

Passo 2

Identificar a função f(x,y) que aparece em y'=f(x,y) e os pontos onde vamos calcular:
  • Aqui f(x,y)=2x-y.
  • O intervalo de integração vai de x_0=1{,}5 até x_{\text{final}}=3.
  • O número de passos é N=\dfrac{3-1{,}5}{0{,}5}=3. Os nós serão
x_0=1{,}5,\quad x_1=2{,}0,\quad x_2=2{,}5,\quad x_3=3{,}0.
Anotando a solução aproximada em cada nó como y_n aproximando y(x_n), começamos com y_0=4.

Passo 3

Explicar o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) de forma didática:
  • A ideia do método é usar a média entre a inclinação (derivada) no início do passo e uma inclinação estimada no final do passo, reduzindo o erro do método de Euler simples.
  • Fórmulas (para um passo de x_n para x_{n+1}=x_n+h):
    1. Preditor (Euler explícito):
    \tilde{y}_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).Aqui calculamos uma estimativa rápida do valor em x_{n+1} usando a inclinação inicial.
    2. Corretor (média das inclinações): y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr).Interpretando: multiplicamos a média das duas inclinações pelo passo h e somamos ao valor atual y_n.
  • Cada símbolo significa:
    • y_n: aproximação de y(x_n).
    • \tilde{y}_{n+1}: valor previsto pelo Euler explícito.
    • f(x_n,y_n): inclinação no início do passo.
    • f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1}): inclinação prevista no final do passo.
  • Esse método é de segunda ordem (erro local \mathcal{O}(h^3), erro global \mathcal{O}(h^2)), ou seja, geralmente bem mais preciso que o Euler simples para o mesmo h.

Passo 4

Preparação para os cálculos: vou aplicar as fórmulas passo a passo nos três incrementos n=0,1,2. Sempre que eu usar f(x,y) lembrando que f(x,y)=2x-y.
Passo n=0 (de x_0=1{,}5 para x_1=2{,}0):
  • Começo com y_0=4.
  • Calculo a inclinação inicial:
f(x_0,y_0)=f(1{,}5,4)=2\cdot 1{,}5-4=3-4=-1.
  • Preditor (Euler):
\tilde{y}_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0)=4+0{,}5\cdot(-1)=4-0{,}5=3{,}5.
  • Inclinação no final prevista:
f(x_1,\tilde{y}_1)=f(2{,}0,3{,}5)=2\cdot 2{,}0-3{,}5=4-3{,}5=0{,}5.
  • Corretor (média das inclinações):
y_1 = 4 + \frac{0{,}5}{2}\bigl(-1 + 0{,}5\bigr)=4+0{,}25\cdot(-0{,}5)=4-0{,}125=3{,}875.
Arredondando só para apresentação futura (mas guardando precisão interna), temos y_1=3{,}87500.

Passo 5

Passo n=1 (de x_1=2{,}0 para x_2=2{,}5):
  • Temos y_1=3{,}875.
  • Inclinação inicial:
f(x_1,y_1)=f(2{,}0,3{,}875)=2\cdot 2{,}0-3{,}875=4-3{,}875=0{,}125.
  • Preditor:
\tilde{y}_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1)=3{,}875+0{,}5\cdot 0{,}125=3{,}875+0{,}0625=3{,}9375.
  • Inclinação no final prevista:
f(x_2,\tilde{y}_2)=f(2{,}5,3{,}9375)=2\cdot 2{,}5-3{,}9375=5-3{,}9375=1{,}0625.
  • Corretor:
y_2 = 3{,}875 + \frac{0{,}5}{2}\bigl(0{,}125 + 1{,}0625\bigr)=3{,}875+0{,}25\cdot 1{,}1875=3{,}875+0{,}296875=4{,}171875.
Mantemos y_2=4{,}171875 (isto é 4{,}17187500).

Passo 6

Passo n=2 (de x_2=2{,}5 para x_3=3{,}0):
  • Temos y_2=4{,}171875.
  • Inclinação inicial:
f(x_2,y_2)=f(2{,}5,4{,}171875)=2\cdot 2{,}5-4{,}171875=5-4{,}171875=0{,}828125.
  • Preditor:
\tilde{y}_3 = y_2 + h\,f(x_2,y_2)=4{,}171875+0{,}5\cdot 0{,}828125=4{,}171875+0{,}4140625=4{,}5859375.
  • Inclinação no final prevista:
f(x_3,\tilde{y}_3)=f(3{,}0,4{,}5859375)=2\cdot 3{,}0-4{,}5859375=6-4{,}5859375=1{,}4140625.
  • Corretor final:
y_3 = 4{,}171875 + \frac{0{,}5}{2}\bigl(0{,}828125 + 1{,}4140625\bigr)=4{,}171875+0{,}25\cdot 2{,}2421875.
  • Calcule a parte final:
0{,}25\cdot 2{,}2421875 = 0{,}560546875,
portanto
y_3 = 4{,}171875 + 0{,}560546875 = 4{,}732421875.

Passo 7

Arredondamento final: o enunciado pediu 5 casas decimais. Arredondando \,4{,}732421875 para cinco casas decimais obtemos \,4{,}73242.

Resposta

y(3)\approx 4{,}73242

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