(use 5 casas decimais) Dado o PVI
, obtenha uma aproximação de
para
usando os métodos a seguir:
Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).
Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede uma aproximação de
usando o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) com passo
. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
. - O passo para o método numérico:
.
A pergunta é: obter uma aproximação numérica deusando o método de Heun com os dados acima.
Passo 2
Identificar a função
que aparece em
e os pontos onde vamos calcular:
- Aqui
. - O intervalo de integração vai de
até . - O número de passos é
. Os nós serão
Anotando a solução aproximada em cada nó como
aproximando
, começamos com
.
Passo 3
Explicar o método de Euler Aperfeiçoado (Heun) de forma didática:
- A ideia do método é usar a média entre a inclinação (derivada) no início do passo e uma inclinação estimada no final do passo, reduzindo o erro do método de Euler simples.
- Fórmulas (para um passo de
para ): - Preditor (Euler explícito):
Aqui calculamos uma estimativa rápida do valor em usando a inclinação inicial.
2. Corretor (média das inclinações):Interpretando: multiplicamos a média das duas inclinações pelo passo e somamos ao valor atual . - Cada símbolo significa:
-
: aproximação de . -
: valor previsto pelo Euler explícito. -
: inclinação no início do passo. -
: inclinação prevista no final do passo.
-
- Esse método é de segunda ordem (erro local
, erro global ), ou seja, geralmente bem mais preciso que o Euler simples para o mesmo .
Passo 4
Preparação para os cálculos: vou aplicar as fórmulas passo a passo nos três incrementos
. Sempre que eu usar
lembrando que
.
Passo
(de
para
):
- Começo com
. - Calculo a inclinação inicial:
- Preditor (Euler):
- Inclinação no final prevista:
- Corretor (média das inclinações):
Arredondando só para apresentação futura (mas guardando precisão interna), temos
.
Passo 5
Passo
(de
para
):
- Temos
. - Inclinação inicial:
- Preditor:
- Inclinação no final prevista:
- Corretor:
Mantemos
(isto é
).
Passo 6
Passo
(de
para
):
- Temos
. - Inclinação inicial:
- Preditor:
- Inclinação no final prevista:
- Corretor final:
- Calcule a parte final:
portanto
Passo 7
Arredondamento final: o enunciado pediu 5 casas decimais. Arredondando
para cinco casas decimais obtemos
.