Dado o sistema linear
\left\{\begin{array}{llr} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & = & 7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & = & -8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3} & = & 6 \end{array}\right.
a) Verifique se o critério das linhas é satisfeito.
b) Resolva pelo método de Gauss-Jacobi com X^{(0)}=\left[\begin{array}{r}0.7 \\\\ -1.6 \\\\ 0.6\end{array}\right] e \epsilon=0.05.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6, \end{cases}
pede (a) verificar o critério das linhas (dominância diagonal) e (b) resolver por Gauss–Jacobi com
X^{(0)}=\begin{pmatrix}0.7\\\ -1.6\\\ 0.6\end{pmatrix},\quad\epsilon=0.05.
Para isso precisamos revisar o critério de convergência pelo método iterativo de Jacobi e depois montar as fórmulas de iteração.

Passo 2

O critério das linhas exige, para cada linha i,
|a_{ii}| \;>\;\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Na primeira linha temos |10|> |2|+|1|, isto é 10>3, ok.
Na segunda linha |5|> |1|+|1|, isto é 5>2, ok.
Na terceira linha |10|> |2|+|3|, isto é 10>5, ok.
Como todas as desigualdades são satisfeitas, o método de Gauss–Jacobi converge.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração
x_{1}^{(k+1)}=\frac{7-2\,x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{10},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{-8 -x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{5},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{6-2\,x_{1}^{(k)}-3\,x_{2}^{(k)}}{10}.

Passo 4

Aplicando a partir de X^{(0)}=(0.7,\,-1.6,\,0.6)^{T}:
X^{(1)}:\; x_{1}^{(1)}=\frac{7-2(-1.6)-0.6}{10}=0.96,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{-8-0.7-0.6}{5}=-1.86,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{6-2(0.7)-3(-1.6)}{10}=0.94.
Diferença infinita \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=\max(0.26,0.26,0.34)=0.34>\!0.05.
X^{(2)}:\; x_{1}^{(2)}=\frac{7-2(-1.86)-0.94}{10}=0.978,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{-8-0.96-0.94}{5}=-1.98,\quad x_{3}^{(2)}=\frac{6-2(0.96)-3(-1.86)}{10}=0.966.
Diferença \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max(0.018,0.12,0.026)=0.12>\!0.05.
X^{(3)}:\; x_{1}^{(3)}=\frac{7-2(-1.98)-0.966}{10}\approx0.9994,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{-8-0.978-0.966}{5}\approx-1.9888,\quad x_{3}^{(3)}=\frac{6-2(0.978)-3(-1.98)}{10}\approx0.9984.
Diferença \|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max(0.0214,0.0088,0.0324)=0.0324\le0.05, atinge o critério.

Resposta

a) O critério das linhas é satisfeito (matriz estritamente diagonal dominante).
b) Aproximação pelo método de Gauss–Jacobi até \epsilon=0.05:
X^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0.9994\\\ -1.9888\\\ 0.9984\end{pmatrix}.

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