Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
2 x y^{\prime}+2 y=x, y^{3}, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bernoulli
2x\,y' + 2y = x\,y^{3},\quad x>0.
O conteúdo é EDO de Bernoulli, em que primeiro vamos colocar na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
e depois usar a substituição u = y^{1-n}.

Passo 2

Dividindo tudo por 2x obtemos a forma padrão:
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{2}\,y^{3}.

Passo 3

Aqui P(x)=\tfrac1x, Q(x)=\tfrac12 e n=3. Definimos
u = y^{1-3} = y^{-2}.
Derivando em relação a x
u' = -2\,y^{-3}\,y'.

Passo 4

Substituímos y' de u' = -2y^{-3}y' na equação padrão e também y^{3}=y^{-(-3)}. Após simplificar surge a EDO linear em u:
u' - \frac{2}{x}\,u = -1.

Passo 5

Para resolver essa linear usamos fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\int \frac{2}{x}dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a EDO por x^{-2} vem
\bigl(u\,x^{-2}\bigr)' = -x^{-2}.
Integrando ambos os lados:
u\,x^{-2} = \int -x^{-2}dx = x^{-1} + C,
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u = x^{2}\bigl(x^{-1}+C\bigr) = x + C\,x^{2}.

Passo 6

Voltando a y, como u=y^{-2} temos
y^{-2} = x + C\,x^{2},
ou seja
y^{2} = \frac{1}{x\,(1+ C\,x)}.
Portanto
y = \pm \frac{1}{\sqrt{x\,(1 + C\,x)}}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{x\,(1 + C\,x)}},
onde C é a constante de integração.

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