Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ -3 & 1 & -2 \end{array}\right)
a) Calcule a fatoração LU de A;
b) Use a fatoração LU para resolver A x=b onde b=(4,3,-13)^{T}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: fatorar a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix}
na forma A = LU, onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior, e em seguida usar essa fatoração para resolver
A x = b,\quad b = \begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ -13\end{pmatrix}.
Vamos fazer isso em quatro etapas: eliminação (montar L e U), depois duas substituições (direta em Ly=b e regressiva em Ux=y).

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss sem troca de linhas:
  1. Para zerar a_{21} usamos m_{21} = \tfrac{2}{1} = 2, ou seja \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1.
  2. Para zerar a_{31} usamos m_{31} = \tfrac{-3}{1} = -3, ou seja \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 3\,\text{R}_1.
    O resultado intermediário é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Para zerar agora o elemento na posição (3,2) usamos
m_{32} = \frac{4}{2} = 2,
fazendo \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\,\text{R}_2. Assim obtemos
U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Os multiplicadores m_{21},m_{31},m_{32} formam a parte não trivial de L, de modo que
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora resolvemos L\,y = b por substituição direta:
\begin{cases} y_1 = 4,\\\\ 2\,y_1 + y_2 = 3 \\ \Longrightarrow\\ y_2 = 3 - 2\cdot4 = -5,\\\\ -3\,y_1 + 2\,y_2 + y_3 = -13 \\ \Longrightarrow\\\ -3\cdot4 + 2\cdot(-5) + y_3 = -13 \\ \Longrightarrow\\ y_3 =9. \end{cases}
Logo
y = \begin{pmatrix}4\\\ -5\\\ 9\end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente resolvemos U\,x = y por substituição regressiva:
\begin{cases} 3\,x_3 = 9 \\ \Longrightarrow\\ x_3 = 3,\\\\ 2\,x_2 - x_3 = -5 \\ \Longrightarrow\\\ 2\,x_2 - 3 = -5 \\ \Longrightarrow\\ x_2 = -1,\\\ x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ \Longrightarrow\\ x_1 -1 +3 =4 \\ \Longrightarrow\\ x_1 = 2. \end{cases}
Portanto
x = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

a)
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
b)
x = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados