Seja
a) Calcule a fatoração LU de
;
b) Use a fatoração LU para resolver
onde
.
b) Use a fatoração LU para resolver
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: fatorar a matriz
na forma
, onde
é triangular inferior com 1’s na diagonal e
é triangular superior, e em seguida usar essa fatoração para resolver
Vamos fazer isso em quatro etapas: eliminação (montar
e
), depois duas substituições (direta em
e regressiva em
).
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss sem troca de linhas:
- Para zerar
usamos , ou seja . - Para zerar
usamos , ou seja .
O resultado intermediário é
- Para zerar agora o elemento na posição
usamos
fazendo
. Assim obtemos
Os multiplicadores
formam a parte não trivial de
, de modo que
Passo 3
Agora resolvemos
por substituição direta:
Logo
Passo 4
Finalmente resolvemos
por substituição regressiva:
Portanto
Resposta
a)
b)