Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -2 \\\\ 2 & 10 & 2 \\\\ -2 & 2 & 5 \end{array}\right)
a) Calcule a fatoração de Cholesky de A;
b) Use a fatoração Cholesky para resolver A x=b para cada uma das escolhas de b, a saber:
(i) b=(4,3,-13)^{T};
(ii) b=(3,1-10)^{T};
(iii) b=(7,23,0)^{T}.

Passo 1

O enunciado pede (a) a fatoração de Cholesky de A (ou seja, encontrar a matriz triangular inferior L com entradas positivas na diagonal tal que A=LL^{T}) e (b) usar essa fatoração para resolver, por substituição, os sistemas Ax=b para três vetores b. Vamos precisar do conceito de decomposição A=LL^{T}, seguida de substituição direta em Ly=b e retroativa em L^{T}x=y.

Passo 2

Calculamos os coeficientes de L=(\ell_{ij}) pelo procedimento padrão:
\ell_{11}=\sqrt{2},\quad \ell_{21}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad \ell_{31}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
\ell_{22}=\sqrt{\,10-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2},\quad \ell_{32}=\frac{2-(-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
\ell_{33}=\sqrt{\,5-\bigl((-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}\bigr)}=1.
Portanto
L = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\\ \sqrt{2} & 2\sqrt{2} & 0\\\\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix},
e de fato A=LL^{T}.

Passo 3

(i) Para b=(4,3,-13)^{T}, fazemos primeiro
Ly=b\;\Longrightarrow\; \begin{cases} \sqrt{2}\,y_{1}=4,\\\ \sqrt{2}\,y_{1}+2\sqrt{2}\,y_{2}=3,\\\\ -\sqrt{2}\,y_{1}+\sqrt{2}\,y_{2}+y_{3}=-13, \end{cases}
que dá
y_{1}=2\sqrt{2},\quad y_{2}=-\frac{1}{2\sqrt{2}},\quad y_{3}=-\frac{17}{2}.
Em seguida
L^{T}x=y\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_{3}=-\tfrac{17}{2},\\\\ 2\sqrt{2}\,x_{2}+\sqrt{2}\,x_{3}=-\tfrac{1}{2\sqrt{2}},\\\ \sqrt{2}\,x_{1}+\sqrt{2}\,x_{2}-\sqrt{2}\,x_{3}=2\sqrt{2}, \end{cases}
resultando em
x=\Bigl(-\tfrac{85}{8},\,\tfrac{33}{8},\,-\tfrac{17}{2}\Bigr)^{T}.

Passo 4

(ii) Para b=(3,1,-10)^{T}, fazemos
Ly=b\;\Longrightarrow\; \begin{cases} \sqrt{2}\,y_{1}=3,\\\ \sqrt{2}\,y_{1}+2\sqrt{2}\,y_{2}=1,\\\\ -\sqrt{2}\,y_{1}+\sqrt{2}\,y_{2}+y_{3}=-10, \end{cases}
que dá
y_{1}=\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\quad y_{2}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad y_{3}=-6.
Depois
L^{T}x=y\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_{3}=-6,\\\\ 2\sqrt{2}\,x_{2}+\sqrt{2}\,x_{3}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\\ \sqrt{2}\,x_{1}+\sqrt{2}\,x_{2}-\sqrt{2}\,x_{3}=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}, \end{cases}
chegando a
x=\Bigl(-\tfrac{29}{4},\,\tfrac{11}{4},\,-6\Bigr)^{T}.

Passo 5

(iii) Para b=(7,23,0)^{T}, obtemos
Ly=b\;\Longrightarrow\; \begin{cases} \sqrt{2}\,y_{1}=7,\\\ \sqrt{2}\,y_{1}+2\sqrt{2}\,y_{2}=23,\\\\ -\sqrt{2}\,y_{1}+\sqrt{2}\,y_{2}+y_{3}=0, \end{cases}
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y_{1}=\tfrac{7\sqrt{2}}{2},\quad y_{2}=4\sqrt{2},\quad y_{3}=-1.
E então
L^{T}x=y\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_{3}=-1,\\\\ 2\sqrt{2}\,x_{2}+\sqrt{2}\,x_{3}=4\sqrt{2},\\\ \sqrt{2}\,x_{1}+\sqrt{2}\,x_{2}-\sqrt{2}\,x_{3}=\tfrac{7\sqrt{2}}{2}, \end{cases}
resultando em
x=\bigl(0,\,\tfrac{5}{2},\,-1\bigr)^{T}.

Resposta

(a)
L = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\\ \sqrt{2} & 2\sqrt{2} & 0\\\\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix},
com A=LL^{T}.
(b)
(i) x=\bigl(-\tfrac{85}{8},\,\tfrac{33}{8},\,-\tfrac{17}{2}\bigr)^{T}.
(ii) x=\bigl(-\tfrac{29}{4},\,\tfrac{11}{4},\,-6\bigr)^{T}.
(iii) x=\bigl(0,\,\tfrac{5}{2},\,-1\bigr)^{T}.

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