Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
y^{\prime}=y \ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = y \ln(x)
e pede a solução geral usando o método de variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e depois resolver para y.

Passo 2

Separe as variáveis, escrevendo
\frac{dy}{dx} = y \ln(x)
como
\frac{1}{y}\,dy = \ln(x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \ln(x)\,dx.
No lado esquerdo fica \ln|y|. No direito usamos a primitiva de \ln(x):
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Com isso obtemos
\ln|y| = x\ln(x) - x + C.
Aplicamos exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{x\ln(x) - x + C} = e^{C}\,e^{x\ln(x)-x}.
Chamando C_1 = \pm e^{C} (constante arbitrária não nula), temos
y = C_{1}\,e^{x\ln(x)-x}.

Passo 5

Podemos simplificar e^{x\ln(x)} como x^{x}. Assim a solução geral fica
y = C\,x^{x}e^{-\,x},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y = C\,x^{x}e^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.

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