Defina matrizes positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida e indefinida e dê três exemplos de cada tipo.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos os seguintes tipos de matriz simétrica segundo o sinal de
para todo vetor não-nulo
: positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida e indefinida. Vamos usar como critério principal a forma quadrática
e a distribuição dos autovalores de
.
Passo 2
Definição de matriz positiva definida:
Uma matriz simétrica é positiva definida se, para todo
,
Uma matriz simétrica
Equivalente: todos os autovalores de
são estritamente positivos.
Exemplos (todas e simétricas):
Exemplos (todas
Passo 3
Definição de matriz positiva semidefinida:
Uma matriz simétrica é positiva semidefinida se, para todo
,
Uma matriz simétrica
Equivalente: todos os autovalores de
são não-negativos.
Exemplos ( , simétricas):
Exemplos (
Passo 4
Definição de matriz negativa definida:
Uma matriz simétrica é negativa definida se, para todo
,
Uma matriz simétrica
Equivalente: todos os autovalores de
são estritamente negativos.
Exemplos ( , simétricas):
Exemplos (
Passo 5
Definição de matriz negativa semidefinida:
Uma matriz simétrica é negativa semidefinida se, para todo
,
Uma matriz simétrica
Equivalente: todos os autovalores de
são não-positivos.
Exemplos ( , simétricas):
Exemplos (
Passo 6
Definição de matriz indefinida:
Uma matriz simétrica é indefinida se existem vetores
tais que
Uma matriz simétrica
Equivalente:
tem pelo menos um autovalor positivo e um negativo.
Exemplos ( , simétricas):
Exemplos (
Resposta
Positiva definida:
para todo
. Exemplos
.
Positiva semidefinida: para todo
. Exemplos
.
Negativa definida: para todo
. Exemplos
.
Negativa semidefinida: para todo
. Exemplos
.
Indefinida: sinais mistos em . Exemplos
.
Positiva semidefinida:
Negativa definida:
Negativa semidefinida:
Indefinida: sinais mistos em