Defina matrizes positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida e indefinida e dê três exemplos de cada tipo.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos os seguintes tipos de matriz simétrica segundo o sinal de x^T A x para todo vetor não-nulo x: positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida e indefinida. Vamos usar como critério principal a forma quadrática x^T A x e a distribuição dos autovalores de A.

Passo 2

Definição de matriz positiva definida:
Uma matriz simétrica AinR^ntimes n é positiva definida se, para todo xneq0,
x^T A x > 0
Equivalente: todos os autovalores de A são estritamente positivos.
Exemplos (todas 2times2 e simétricas):
A1 = 2 & 00 & 3, A2 = 1 & 0.50.5 & 1, A3 = 4 & -1-1 & 2

Passo 3

Definição de matriz positiva semidefinida:
Uma matriz simétrica B é positiva semidefinida se, para todo x,
x^T B x >= 0
Equivalente: todos os autovalores de B são não-negativos.
Exemplos ( 2times2, simétricas):
B1 = 1 & 00 & 0, B2 = 1 & 11 & 1, B3 = 0 & 00 & 0

Passo 4

Definição de matriz negativa definida:
Uma matriz simétrica C é negativa definida se, para todo xneq0,
x^T C x < 0
Equivalente: todos os autovalores de C são estritamente negativos.
Exemplos ( 2times2, simétricas):
C1 = -2 & 00 & -3, C2 = -1 & -0.5-0.5 & -1, C3 = -4 & 11 & -2

Passo 5

Definição de matriz negativa semidefinida:
Uma matriz simétrica D é negativa semidefinida se, para todo x,
x^T D x <= 0
Equivalente: todos os autovalores de D são não-positivos.
Exemplos ( 2times2, simétricas):
D1 = -1 & 00 & 0, D2 = -1 & -1-1 & -1, D3 = 0 & 00 & -2

Passo 6

Definição de matriz indefinida:
Uma matriz simétrica E é indefinida se existem vetores x,y tais que
x^T E x > 0 e y^T E y < 0
Equivalente: E tem pelo menos um autovalor positivo e um negativo.
Exemplos ( 2times2, simétricas):
E1 = 1 & 00 & -1, E2 = 2 & 11 & -1, E3 = 0 & 11 & 0

Resposta

Positiva definida: x^T A x>0 para todo xneq0. Exemplos A1,A2,A3.
Positiva semidefinida: x^T B x>=0 para todo x. Exemplos B1,B2,B3.
Negativa definida: x^T C x<0 para todo xneq0. Exemplos C1,C2,C3.
Negativa semidefinida: x^T D x<=0 para todo x. Exemplos D1,D2,D3.
Indefinida: sinais mistos em x^T E x. Exemplos E1,E2,E3.

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