Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificações explicadas acima em (I), (II) e (III) que se faça com esse sistema recebe o nome de operação elementar com
. Se um sistema linear
foi obtido de um sistema linear
através de um número finito de operações elementares, dizemos que
é equivalente a S . Notaçāo:
. É fácil ver que para a relação
assim definida valem as seguintes propriedades:
(simétrica);
Passo 1
O enunciado define que dois sistemas lineares
e
são ditos equivalentes (escrevemos
) se um pode ser obtido do outro por um número finito de operações elementares. Vamos mostrar que essa relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência.
Passo 2
Provar que
é reflexiva, isto é,
para qualquer sistema
. Basta observar que podemos obter
de si mesmo sem aplicar nenhuma operação elementar. Como “nenhuma operação” é um caso particular de “um número finito de operações”, concluímos que
Passo 3
Provar que
é simétrica, ou seja, de
devemos chegar a
. Se
foi obtido de
por uma sequência finita de operações elementares, basta aplicar em
a sequência inversa de operações (cada operação elementar tem sua inversa também elementar) para voltar a
. Então há um número finito de operações que levam
de volta a
, logo
Passo 4
Provar que
é transitiva, isto é, de
e
segue
. Se
se obtém de
por uma sequência finita de operações e
se obtém de
por outra sequência finita, então, concatenando essas duas sequências, obtemos uma sequência finita de operações que leva
diretamente a
. Logo
Resposta
Concluímos que a relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência entre sistemas lineares.