Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificações explicadas acima em (I), (II) e (III) que se faça com esse sistema recebe o nome de operação elementar com S. Se um sistema linear S_{1} foi obtido de um sistema linear S através de um número finito de operações elementares, dizemos que S_{1} é equivalente a S . Notaçāo: \mathrm{S}_{1} \sim \mathrm{~S}. É fácil ver que para a relação \sim assim definida valem as seguintes propriedades:
\mathrm{S}_{1} \sim \mathrm{~S} \Longrightarrow \mathrm{~S} \sim \mathrm{~S}_{1} (simétrica);

Passo 1

O enunciado define que dois sistemas lineares S e S_{1} são ditos equivalentes (escrevemos S_{1}\sim S) se um pode ser obtido do outro por um número finito de operações elementares. Vamos mostrar que essa relação \sim é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência.

Passo 2

Provar que \sim é reflexiva, isto é, S\sim S para qualquer sistema S. Basta observar que podemos obter S de si mesmo sem aplicar nenhuma operação elementar. Como “nenhuma operação” é um caso particular de “um número finito de operações”, concluímos que
S\sim S\,.

Passo 3

Provar que \sim é simétrica, ou seja, de S_{1}\sim S devemos chegar a S\sim S_{1}. Se S_{1} foi obtido de S por uma sequência finita de operações elementares, basta aplicar em S_{1} a sequência inversa de operações (cada operação elementar tem sua inversa também elementar) para voltar a S. Então há um número finito de operações que levam S_{1} de volta a S, logo
S\sim S_{1}\,.

Passo 4

Provar que \sim é transitiva, isto é, de S_{1}\sim S_{2} e S_{2}\sim S_{3} segue S_{1}\sim S_{3}. Se S_{1} se obtém de S_{2} por uma sequência finita de operações e S_{2} se obtém de S_{3} por outra sequência finita, então, concatenando essas duas sequências, obtemos uma sequência finita de operações que leva S_{1} diretamente a S_{3}. Logo
S_{1}\sim S_{3}\,.

Resposta

Concluímos que a relação \sim é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência entre sistemas lineares.

Exercícios relacionados