Exercício 2:
\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=2
2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}=3
3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}=7

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - y + z = 2,\\\\ 2x + y - z = 3,\\\\ 3x - y + 2z = 7, \end{cases}
que envolve as incógnitas x, y e z. Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolvê-lo.

Passo 2

Para encontrar x de imediato, somamos a primeira e a segunda equações, eliminando y e z:
(x - y + z) + (2x + y - z) = 2 + 3
3x = 5
Logo,
x = \tfrac{5}{3}.

Passo 3

Agora substituímos \,x = \tfrac{5}{3}\, na primeira e na terceira equações para obter um sistema em y e z.
- Na primeira equação:
\tfrac{5}{3} - y + z = 2 \quad\Longrightarrow\quad z - y = 2 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{1}{3}.
- Na terceira equação:
3\cdot\tfrac{5}{3} - y + 2z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 5 - y + 2z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2z - y = 2.

Passo 4

Temos o sistema
\begin{cases} z - y = \tfrac{1}{3},\\\\ 2z - y = 2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda, eliminamos y:
(2z - y) - (z - y) = 2 - \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{5}{3}.
Em seguida, de z - y = \tfrac{1}{3} vem
\tfrac{5}{3} - y = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{4}{3}.

Resposta

\bigl(x,y,z\bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3}\Bigr).

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