Sendo \vec{u} e \vec{v} unitários, \|\vec{w}\| = 4, \vec{u} \cdot \vec{w}=-2, \vec{v} \cdot \vec{w}=-4, e ang (\vec{u}, \vec{v})=\pi / 3 radianos, calcule:
(2 \vec{u}-\vec{v}+\vec{w}) \cdot(-\vec{u}+\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá vetores \vec{u} e \vec{v} unitários com ângulo \pi/3 entre eles, logo
\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12.
Também sabemos que \|\vec{w}\|=4, \vec{u}\cdot\vec{w}=-2 e \vec{v}\cdot\vec{w}=-4. Queremos calcular
(2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})\cdot(-\vec{u}+\vec{v}).

Passo 2

Vamos usar a distributividade do produto escalar e expandir:
(2\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) =2\vec{u}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) -\vec{v}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) +\vec{w}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}).

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. 2\vec{u}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) = 2\bigl(\vec{u}\cdot(-\vec{u}) + \vec{u}\cdot\vec{v}\bigr) =2\bigl(-1 + \tfrac12\bigr)=2\cdot(-\tfrac12)=-1.
  2. -\vec{v}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) = -\bigl(\vec{v}\cdot(-\vec{u}) + \vec{v}\cdot\vec{v}\bigr) =-\bigl(\tfrac12 +1\bigr)=-\tfrac32.
  3. \vec{w}\cdot(-\vec{u}+\vec{v}) =-(\vec{w}\cdot\vec{u})+(\vec{w}\cdot\vec{v}) =-(-2)+(-4)=2-4=-2.

Passo 4

Somando os três resultados:
-1 + \bigl(-\tfrac32\bigr) + (-2) =-1 - \tfrac32 -2 =-\tfrac{7}{2}.

Resposta

-\tfrac{7}{2}

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