Exercício 1:
\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=6
2 x-y+z=3
\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}=4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\\ 2x - y + z = 3,\\\ x + 2y - z = 4, \end{cases}
o que pertence ao conteúdo de álgebra linear (sistemas lineares). Vamos usar eliminação de variáveis (método de Gauss) para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Usamos a primeira equação
x + y + z = 6
para eliminar x das outras duas.
Da segunda equação 2x - y + z = 3, fazemos (eq2) -2 \times(eq1):
(2x - y + z) - 2\,(x + y + z) = 3 - 2\cdot6
que resulta em
-3y - z = -9 \quad\Longrightarrow\quad 3y + z = 9.
Da terceira equação x + 2y - z = 4, fazemos (eq3) -1 \times(eq1):
(x + 2y - z) - (x + y + z) = 4 - 6
que dá
y - 2z = -2.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema em y\) e \(z\): \[\begin{cases} 3y + z = 9,\\\ y - 2z = -2. \end{cases}
Da segunda temos (\displaystyle y = 2z - 2]. Substituindo na primeira:
3(2z - 2) + z = 9 \quad\Longrightarrow\quad 6z - 6 + z = 9 \quad\Longrightarrow\quad 7z = 15 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{15}{7}.
Logo
y = 2\biggl(\frac{15}{7}\biggr) - 2 = \frac{30}{7} - \frac{14}{7} = \frac{16}{7}.

Passo 4

Finalmente encontramos x pela primeira equação:
x = 6 - y - z = 6 - \frac{16}{7} - \frac{15}{7} = \frac{42}{7} - \frac{31}{7} = \frac{11}{7}.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{11}{7},\,\tfrac{16}{7},\,\tfrac{15}{7}\Bigr).

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