Dado o sistema linear
pelo Método de Gauss-Sidel
Passo 1
Beleza, mano, o enunciado é o seguinte: temos o sistema
e a gente vai tentar resolver por Gauss–Seidel, que é um método iterativo. Para isso precisamos:
- Reescrever cada equação isolando a variável “principal” de cada linha;
- Escolher um chute inicial (por ex.,
); - Montar as fórmulas de iteração;
- Rodar as iterações até (ou ver que) converge;
- Verificar o critério de convergência (geralmente a dominância diagonal).
Passo 2
Primeiro a gente checa se o sistema é “diagonalmente dominante”, porque isso costuma garantir convergência de Gauss–Seidel. Olha só os módulos dos coeficientes de cada linha:
Linha 1: |2| ? |–1|+|0,5| ⇒ 2 > 1,5 ✔
Linha 2: |0,5| ? |–1|+|–0,25| ⇒ 0,5 < 1,25 ✘
Linha 3: |–5| ? |1|+|2| ⇒ 5 > 3 ✔
Linha 2: |0,5| ? |–1|+|–0,25| ⇒ 0,5 < 1,25 ✘
Linha 3: |–5| ? |1|+|2| ⇒ 5 > 3 ✔
Como a linha 2 não satisfaz |a₂₂|>|a₂₁|+|a₂₃|, a gente não tem dominância diagonal em todas as linhas. Ou seja, não há garantia de convergência.
Passo 3
Mesmo assim, vamos escrever as fórmulas de atualização (isolando x, y e z em cada equação):
Da eq. 1:
Da eq. 2:
Da eq. 3:
Então as fórmulas de iteração (k+1) ← (k) ficam:
Passo 4
Chute inicial:
Vamos ver as primeiras iterações:
k=0→1:
x¹ = (2 + 0 - 0)/2 = 1
y¹ = 2(1 + 1 + 0) = 4
z¹ = (1 + 2·4 - 2)/5 = 7/5 = 1,4
x¹ = (2 + 0 - 0)/2 = 1
y¹ = 2(1 + 1 + 0) = 4
z¹ = (1 + 2·4 - 2)/5 = 7/5 = 1,4
k=1→2:
x² = (2 + 4 - 0,5 · 1,4)/2 = 2,65
y² = 2(1 + 2,65 + 0,25·1,4) = 8
z² = (2,65 + 2·8 - 2)/5 = 3,33
x² = (2 + 4 - 0,5 · 1,4)/2 = 2,65
y² = 2(1 + 2,65 + 0,25·1,4) = 8
z² = (2,65 + 2·8 - 2)/5 = 3,33
k=2→3:
x³ ≃ 4,1675
y³ = 2(1 + 4,1675 + 0,25·3,33) = 12
z³ ≃ 5,2335
x³ ≃ 4,1675
y³ = 2(1 + 4,1675 + 0,25·3,33) = 12
z³ ≃ 5,2335
…e assim por diante. Dá pra ver que os valores tão crescendo a cada passo, não se estabilizam. É sinal claro de divergência.
Passo 5
Conclusão prática:
– A linha 2 não é diagonalmente dominante, então o método não converge.
– De fato, os iterados crescem sem parar, nunca ficam próximos a um ponto fixo.
– A linha 2 não é diagonalmente dominante, então o método não converge.
– De fato, os iterados crescem sem parar, nunca ficam próximos a um ponto fixo.
Resposta
O Método de Gauss–Seidel não converge para este sistema (ele diverge), logo não conseguimos uma solução via iterações. Isso acontece porque o sistema não é diagonalmente dominante e, na verdade, analisando por eliminação simples, o sistema é incompatível (não tem solução).