Usando o método de Newton, resolva os seguentes sistemas de equacaes nas hineares com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver pelo método de Newton esse sistema não‐linear
Conteúdo da matéria: sistema de equações não‐lineares e método de Newton.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir
F(x)=2x1^2 - x2 -1[4pt]x1^2 - x2 -1, - O Jacobiano
J(x)=4x1 & -1[3pt]2x1 & -1,
3. A fórmula de iteração
x^(k+1)=x^(k)-J(x^(k))^-1F(x^(k)), - Critério de parada
.|x^(k+1)-x^(k)|<0,01
Passo 2
Primeira iteração (
k=0to1 ):
x^{(0)}=(0.5,,-0.5).
Calculo de F e J:
x^{(0)}=(0.5,,-0.5).
Calculo de F e J:
$$F(x^{(0)})=
F(x^(0))=2cdot0.5^2-(-0.5)-1[3pt]0.5^2-(-0.5)-1 =0[3pt]-0.25,
=
J(x^(0))=4cdot0.5&-1[3pt]2cdot0.5&-1 =2&-11&-1 ,$$
$$J(x^{(0)})=
J,de
=
de .
x^(1)=x^(0)-de á x{(1)}=x{(0)}-\delta=(0.5-0.25,,-0.5-0.5)=(0.25,,-1).$$
Diferença
|x^(1)-x^(0)|=max(0.25,0.5)=0.5>0.01 . Continua.
Passo 3
Segunda iteração (
k=1to2 ):
x^{(1)}=(0.25,,-1).
x^{(1)}=(0.25,,-1).
$$F(x^{(1)})=
F(x^(1))=0.1250.0625, J(x^(1))=1&-10.5&-1 ,\quad
J(x^{(1)})=
J,de .
de x^{(2)}=(0.25-0.125,,-1-0)=(0.125,,-1).$$
Diferença
x^(2)=(0.25-0.125,,-1-0)=(0.125,,-1) . Continua.
Passo 4
Terceira iteração (
k=2to3 ):
x^{(2)}=(0.125,,-1).
x^{(2)}=(0.125,,-1).
$$F(x^{(2)})=
F(x^(2))=0.031250.015625, J(x^(2))=0.5&-10.25&-1 ,\quad
J(x^{(2)})=
de .
x^(3)=(0.125-0.0625,,-1)=(0.0625,,-1) x^{(3)}=(0.125-0.0625,,-1)=(0.0625,,-1).$$
Diferença
=0.0625>0.01 . Continua.
Passo 5
Quarta iteração (
k=3to4 ):
x^{(3)}=(0.0625,,-1).
x^{(3)}=(0.0625,,-1).
$$F(x^{(3)})=
F(x^(3))=0.00781250.00390625, J(x^(3))=0.25&-10.125&-1 ,\quad
J(x^{(3)})=
de .
x^(4)=(0.0625-0.03125,,-1)=(0.03125,,-1) x^{(4)}=(0.0625-0.03125,,-1)=(0.03125,,-1).$$
Diferença
=0.03125>0.01 . Continua.
Passo 6
Quinta iteração (
k=4to5 ):
x^{(4)}=(0.03125,,-1).
x^{(4)}=(0.03125,,-1).
$$F(x^{(4)})=
F(x^(4))=0.0019531250.0009765625, J(x^(4))=0.125&-10.0625&-1 ,\quad
J(x^{(4)})=
de .
x^(5)=(0.03125-0.015625,,-1)=(0.015625,,-1) í x^{(5)}=(0.03125-0.015625,,-1)=(0.015625,,-1).$$
Diferença
=0.015625>0.01 . Continua.
Passo 7
Sexta iteração (
k=5to6 ):
x^{(5)}=(0.015625,,-1).
x^{(5)}=(0.015625,,-1).
$$F(x^{(5)})=
F(x^(5))=0.000488281250.000244140625, J(x^(5))=0.0625&-10.03125&-1 ,\quad
J(x^{(5)})=
de .
x^(6)=(0.015625-0.0078125,,-1)=(0.0078125,,-1) á x^{(6)}=(0.015625-0.0078125,,-1)=(0.0078125,,-1).$$
Diferença
=;0.0078125<0.01 . Pronto, paramos.
Resposta
Aproximação pelo método de Newton com
varepsilon=0,01 é