Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração
com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
explique por que, se A é não singular, então
também o será, donde
,
;
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
explique por que, se A é não singular, então
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma fatoração
onde
- L é triangular inferior com 1 na diagonal (“unitária”),
- U é triangular superior.
Chamam isso de redução de Doolittle.
A pergunta é: “Se A é não singular (invertível), por que U também é não singular e, portanto, every
Para responder isso, vamos precisar entender um pouco de determinantes e algumas propriedades de matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, o que significa “não singular”?
– Uma matriz é não singular (invertível) exatamente quando sua determinante é diferente de zero:
.
E existe uma regra básica de determinantes:
– Uma matriz é não singular (invertível) exatamente quando sua determinante é diferente de zero:
E existe uma regra básica de determinantes:
Como
, podemos escrever
Passo 3
Agora, outra propriedade super útil:
para qualquer matriz triangular (seja superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Em particular, como L tem diagonal unitária (todos os ),
para qualquer matriz triangular (seja superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Em particular, como L tem diagonal unitária (todos os
Logo
Passo 4
Como A é não singular, sabemos que
. Portanto
o que diz que U também é não singular (invertível).
E, de novo lembrando que U é triangular, seu determinante é o produto dos seus elementos diagonais:
E, de novo lembrando que U é triangular, seu determinante é o produto dos seus elementos diagonais:
Para esse produto ser não zero, cada fator
não pode ser zero.
Resposta
Conclusão: como
, U é não singular e, em consequência, seus elementos diagonais satisfazem