Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração A=LU com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
explique por que, se A é não singular, então U também o será, donde uk k neq 0, k=1, ldots, n;

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma fatoração
A = L,U
onde
- L é triangular inferior com 1 na diagonal (“unitária”),
- U é triangular superior.
Chamam isso de redução de Doolittle.
A pergunta é: “Se A é não singular (invertível), por que U também é não singular e, portanto, every ?”
Para responder isso, vamos precisar entender um pouco de determinantes e algumas propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, o que significa “não singular”?
– Uma matriz é não singular (invertível) exatamente quando sua determinante é diferente de zero:
det(A B);=;det(A),det(B) .
E existe uma regra básica de determinantes:
det(A) ;=;det(L,U) ;=;det(L),det(U)
Como , podemos escrever

Passo 3

Agora, outra propriedade super útil:
para qualquer matriz triangular (seja superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Em particular, como L tem diagonal unitária (todos os det(L) = 1;times1;timescdotstimes1 = 1 ),
det(A) = det(L),det(U) = 1cdotdet(U) = det(U)
Logo

Passo 4

Como A é não singular, sabemos que det(U)=det(A)neq0, . Portanto
det(U) = u11,u22,cdots,unnneq0
o que diz que U também é não singular (invertível).
E, de novo lembrando que U é triangular, seu determinante é o produto dos seus elementos diagonais:
Para esse produto ser não zero, cada fator não pode ser zero.

Resposta

Conclusão: como ukkneq0, k=1,dots,n , U é não singular e, em consequência, seus elementos diagonais satisfazem

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