Dado um sistema massa-mola com
:
(a) Determine o fator de amortecimento
.
(b) Escreva a equação do movimento considerando condições iniciais
e
.
(a) Determine o fator de amortecimento
(b) Escreva a equação do movimento considerando condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido com os valores:
- massa:
, - constante elástica:
, - coeficiente de amortecimento viscoso:
.
As perguntas são:
(a) Determinar o fator de amortecimento .
(b) Escrever a equação do movimento com as condições iniciais e
.
(a) Determinar o fator de amortecimento
(b) Escrever a equação do movimento com as condições iniciais
Passo 2
Vamos lembrar a definição da frequência natural não amortecida
. Para um sistema massa-mola linear sem amortecimento:
Aqui
tem unidades de rad/s;
é a rigidez (N/m) e
é a massa (kg). Substituindo os valores dados:
Podemos simplificar
. Numericamente,
Passo 3
O coeficiente de amortecimento crítico
(aquele que separa amortecimento subcrítico de supercrítico) é dado por
Isso vem da condição para amortecimento crítico em um oscilador linear. Substituindo:
Passo 4
O fator de amortecimento adimensional
é definido como
Substituindo
e
:
Numericamente,
Interpretação rápida:
indica amortecimento subcrítico (sistema oscilatório amortecido).
Passo 5
Escrevemos a equação diferencial do movimento do sistema massa-mola amortecido:
Dividindo tudo por
para obter a forma padrão:
onde já usamos a relação
. Vamos calcular os coeficientes numéricos úteis.
Passo 6
Calculemos o termo de amortecimento exponencial
. Usando
e
:
Também
. Assim a equação fica numericamente:
ou seja
Passo 7
Como já vimos
, o sistema é subamortecido (underdamped). Para esse caso a solução geral é
onde
e
é a frequência amortecida dada por
Passo 8
Calculemos
. Já temos
e
(porque
dá
). Então
Observação simpática: os números escolheram-se de forma que
fica exatamente
.
Passo 9
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Pela forma da solução:
Como
, temos
Para a derivada, calculamos
. Derivando a expressão geral:
Avaliar em
:
Substituindo
,
,
e usando
:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular solicitada:
Esta é a posição em função do tempo (em metros) que satisfaz a equação do movimento e as condições iniciais dadas. É uma oscilação amortecida com decaimento exponencial
, frequência amortecida
e amplitude modulada pelo exponencial.
Resposta
(a)
(b)
(b)