Dado um sistema massa-mola com m=4 \mathrm{~kg}, k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, c=8 \mathrm{Ns} / \mathrm{m} :
(a) Determine o fator de amortecimento \zeta.
(b) Escreva a equação do movimento considerando condições iniciais x(0)=0,1 e x^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido com os valores:
  • massa: m=4\\ \mathrm{kg},
  • constante elástica: k=200\\ \mathrm{N/m},
  • coeficiente de amortecimento viscoso: c=8\\ \mathrm{Ns/m}.
As perguntas são:
(a) Determinar o fator de amortecimento \zeta.
(b) Escrever a equação do movimento com as condições iniciais \,x(0)=0,1 e \,x'(0)=0.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da frequência natural não amortecida \omega_n. Para um sistema massa-mola linear sem amortecimento:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega_n tem unidades de rad/s; k é a rigidez (N/m) e m é a massa (kg). Substituindo os valores dados:
\omega_n=\sqrt{\frac{200}{4}}=\sqrt{50}.
Podemos simplificar \sqrt{50}=5\sqrt{2}. Numericamente,
\omega_n=5\sqrt{2}\approx7{,}0710678\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

O coeficiente de amortecimento crítico c_c (aquele que separa amortecimento subcrítico de supercrítico) é dado por
c_c = 2 m \omega_n.
Isso vem da condição para amortecimento crítico em um oscilador linear. Substituindo:
c_c = 2\cdot 4\cdot \omega_n = 8\omega_n = 8\cdot 5\sqrt{2}=40\sqrt{2}\approx56{,}5685\\ \mathrm{Ns/m}.

Passo 4

O fator de amortecimento adimensional \zeta é definido como
\zeta=\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2m\omega_n}.
Substituindo c=8 e c_c=40\sqrt{2}:
\zeta=\frac{8}{40\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}.
Numericamente,
\zeta=\frac{\sqrt{2}}{10}\approx0{,}141421356.
Interpretação rápida: \zeta<1 indica amortecimento subcrítico (sistema oscilatório amortecido).

Passo 5

Escrevemos a equação diferencial do movimento do sistema massa-mola amortecido:
m x''(t) + c x'(t) + k x(t)=0.
Dividindo tudo por m para obter a forma padrão:
x''(t) + 2\zeta\omega_n x'(t) + \omega_n^2 x(t)=0,
onde já usamos a relação 2\zeta\omega_n = c/m. Vamos calcular os coeficientes numéricos úteis.

Passo 6

Calculemos o termo de amortecimento exponencial \alpha=\zeta\omega_n. Usando \zeta=\dfrac{\sqrt{2}}{10} e \omega_n=5\sqrt{2}:
\alpha=\zeta\omega_n=\frac{\sqrt{2}}{10}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{5\cdot 2}{10}=1\\ \mathrm{s^{-1}}.
Também \omega_n^2=50. Assim a equação fica numericamente:
x''(t)+2\cdot 1\;x'(t)+50\,x(t)=0,
ou seja
x''(t)+2x'(t)+50x(t)=0.

Passo 7

Como já vimos \zeta\approx0{,}1414<1, o sistema é subamortecido (underdamped). Para esse caso a solução geral é
x(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde \alpha=\zeta\omega_n e \omega_d é a frequência amortecida dada por
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

Passo 8

Calculemos \omega_d. Já temos \omega_n^2=50 e \zeta^2=0{,}02 (porque \zeta=\sqrt{2}/10 \zeta^2=2/100). Então
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=5\sqrt{2}\sqrt{0{,}98}=\sqrt{50\cdot 0{,}98}=\sqrt{49}=7\\ \mathrm{rad/s}.
Observação simpática: os números escolheram-se de forma que \omega_d fica exatamente 7\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 9

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. Pela forma da solução:
x(0)=e^{0}(A\cos0 + B\sin0)=A.
Como x(0)=0{,}1, temos
A=0{,}1.
Para a derivada, calculamos x'(t). Derivando a expressão geral:
x'(t)= -\alpha e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr) + e^{-\alpha t}\bigl(-A\omega_d\sin(\omega_d t)+B\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr).
Avaliar em t=0:
x'(0)= -\alpha A + B\omega_d.
Substituindo \alpha=1, A=0{,}1, \omega_d=7 e usando x'(0)=0:
0 = -1\cdot 0{,}1 + 7 B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{0{,}1}{7}=\frac{1}{70}\approx0{,}0142857.

Passo 10

Substituindo A e B na solução geral obtemos a solução particular solicitada:
x(t)=e^{-t}\!\left(0{,}1\cos(7t)+\frac{1}{70}\sin(7t)\right).
Esta é a posição em função do tempo (em metros) que satisfaz a equação do movimento e as condições iniciais dadas. É uma oscilação amortecida com decaimento exponencial e^{-t}, frequência amortecida 7\\ \mathrm{rad/s} e amplitude modulada pelo exponencial.

Resposta

(a) \zeta=\dfrac{\sqrt{2}}{10}\approx0{,}141421356.
(b) \displaystyle x(t)=e^{-t}\!\left(0{,}1\cos(7t)+\frac{1}{70}\sin(7t)\right).

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