Um sistema massa-mola executa movimento harmônico simples com
,
e amplitude
.
(a) Calcule as energias cinética e potencial máximas.
(b) Escreva a equação para a energia total em função do tempo.
(a) Calcule as energias cinética e potencial máximas.
(b) Escreva a equação para a energia total em função do tempo.
Passo 1
Liste clara do que o enunciado dá e pede.
-
Dados fornecidos:
- massa:
- constante elástica da mola:
- amplitude do movimento:
- massa:
-
O enunciado pede:
- (a) Calcular as energias cinética máxima e potencial máxima.
- (b) Escrever a equação para a energia total em função do tempo.
Passo 2
Relembrando as fórmulas físicas que vamos usar (explicado passo a passo).
- Energia cinética de um corpo em movimento: a energia associada à velocidade é dada por
onde
é a massa e
é a velocidade instantânea.
- Energia potencial elástica da mola: a energia armazenada quando a mola é deformada por uma distância
é
onde
é a constante da mola e
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
- Para um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude
e frequência angular , a posição e a velocidade genéricas são, tomando uma fase inicial :
Explicando: a velocidade é a derivada temporal da posição; a derivada de
é
e aparece o fator
por causa da regra da cadeia.
- A frequência angular
no caso massa–mola vale
Aqui
tem unidades de rad/s e determina quão rápido o sistema oscila.
Passo 3
Calcular
com os valores dados.
- Substituindo
e :
Interpretação: o sistema oscila com frequência angular
.
Passo 4
Determinar a energia total do oscilador em termos da amplitude (ideia central).
- A energia total
num MHS livre e sem amortecimento é constante e igual à soma de e . No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio ( ) toda a energia é cinética máxima; no extremo ( ) toda a energia é potencial máxima. Portanto a energia total vale, usando ,
Explicando por que: no extremo
tem-se
então
e
. Como energia total é conservada, esse valor é a energia total e também a energia cinética máxima quando
.
Passo 5
Calcular numericamente as energias máximas pedidas em (a).
- Primeiro calcular
: como ,
- Energia potencial máxima:
Calcule passo a passo:
Portanto
- Energia cinética máxima: pode-se calcular diretamente como
(já que ) ou usando com . - Calcular
:
- Agora
- Calcular
Portanto
- Conclusão numérica: tanto a energia cinética máxima quanto a potencial máxima valem
(são iguais porque a energia total é trocada entre e ).
Passo 6
Escrever a equação da energia total em função do tempo e mostrar que é constante (resposta detalhada para (b)).
- Forma genérica somando as contribuições instantâneas:
- Substituir
e :
Como o quadrado elimina o sinal negativo:
- Usar
para simplificar a primeira parcela:
- Portanto
Fatorando
:
Como
para todo
,
- Substituindo os números:
ou seja a energia total é constante no tempo e igual a
.
Resposta
(a)
e
(b)