Um sistema massa-mola executa movimento harmônico simples com m=1 \mathrm{~kg}, k=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e amplitude A=0,1 \mathrm{~m}.
(a) Calcule as energias cinética e potencial máximas.
(b) Escreva a equação para a energia total em função do tempo.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=1\\ \mathrm{kg}
    • constante elástica da mola: k=25\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}
    • amplitude do movimento: A=0,1\\ \mathrm{m}
  • O enunciado pede:
    • (a) Calcular as energias cinética máxima e potencial máxima.
    • (b) Escrever a equação para a energia total em função do tempo.

Passo 2

Relembrando as fórmulas físicas que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Energia cinética de um corpo em movimento: a energia associada à velocidade é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde \,m é a massa e \,v é a velocidade instantânea.
  • Energia potencial elástica da mola: a energia armazenada quando a mola é deformada por uma distância x é
U=\tfrac{1}{2} k x^{2},
onde \,k é a constante da mola e \,x é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.
  • Para um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude \,A e frequência angular \,\omega, a posição e a velocidade genéricas são, tomando uma fase inicial \varphi:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Explicando: a velocidade é a derivada temporal da posição; a derivada de \cos é -\sin e aparece o fator \omega por causa da regra da cadeia.
  • A frequência angular \omega no caso massa–mola vale
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui \omega tem unidades de rad/s e determina quão rápido o sistema oscila.

Passo 3

Calcular \omega com os valores dados.
  • Substituindo \,k=25 e \,m=1:
\omega=\sqrt{\dfrac{25}{1}}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
Interpretação: o sistema oscila com frequência angular \,5\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Determinar a energia total do oscilador em termos da amplitude (ideia central).
  • A energia total E num MHS livre e sem amortecimento é constante e igual à soma de K e U. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio ( x=0) toda a energia é cinética máxima; no extremo ( x=\pm A) toda a energia é potencial máxima. Portanto a energia total vale, usando U_{\max}=\tfrac{1}{2}kA^{2},
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Explicando por que: no extremo x=A tem-se v=0 então K=0 e U=\tfrac{1}{2}kA^{2}. Como energia total é conservada, esse valor é a energia total e também a energia cinética máxima quando x=0.

Passo 5

Calcular numericamente as energias máximas pedidas em (a).
  • Primeiro calcular A^{2}: como A=0,1\\ \mathrm{m},
A^{2}=0,1^{2}=0,01\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Energia potencial máxima:
U_{\max}=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,01.
Calcule passo a passo:
25\cdot 0,01=0,25,
\tfrac{1}{2}\cdot 0,25=0,125.
Portanto
U_{\max}=0,125\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética máxima: pode-se calcular diretamente como E (já que K_{\max}=E) ou usando K_{\max}=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2} com v_{\max}=\omega A.
    • Calcular v_{\max}:
    v_{\max}=\omega A=5\cdot 0,1=0,5\\ \mathrm{m/s}.
    • Agora
    K_{\max}=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 0,5^{2}.
0,5^{2}=0,25,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 0,25=0,125.
Portanto
K_{\max}=0,125\\ \mathrm{J}.
  • Conclusão numérica: tanto a energia cinética máxima quanto a potencial máxima valem 0,125\\ \mathrm{J} (são iguais porque a energia total é trocada entre K e U).

Passo 6

Escrever a equação da energia total em função do tempo e mostrar que é constante (resposta detalhada para (b)).
  • Forma genérica somando as contribuições instantâneas:
E(t)=K(t)+U(t)=\tfrac{1}{2}m v(t)^{2}+\tfrac{1}{2}k x(t)^{2}.
  • Substituir x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) e v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi):
E(t)=\tfrac{1}{2}m\bigl(-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}k\bigl(A\cos(\omega t+\varphi)\bigr)^{2}.
Como o quadrado elimina o sinal negativo:
E(t)=\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)+\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).
  • Usar \omega^{2}=k/m para simplificar a primeira parcela:
\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)=\tfrac{1}{2}mA^{2}\dfrac{k}{m}\sin^{2}(\omega t+\varphi)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi).
  • Portanto
E(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)+\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).
Fatorando \tfrac{1}{2}kA^{2}:
E(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\bigl(\sin^{2}(\omega t+\varphi)+\cos^{2}(\omega t+\varphi)\bigr).
Como \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 para todo \theta,
E(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  • Substituindo os números:
E(t)=0,125\\ \mathrm{J},
ou seja a energia total é constante no tempo e igual a 0,125\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) K_{\max}=0,125\\ \mathrm{J} \quad e \quad U_{\max}=0,125\\ \mathrm{J}
(b) E(t)=\tfrac{1}{2}m v(t)^{2}+\tfrac{1}{2}k x(t)^{2}=\tfrac{1}{2}kA^{2}=0,125\\ \mathrm{J}

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