Dado o sistema \vec{X}^{\prime}(t)=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -2 & -2 & -1\end{array}\right] \vec{X}(t). Responda cada item:
a) Mostre que a matriz tem o autovalor repetido \lambda=1 de multiplicidade 3 .
b) Mostre que as três soluções encontradas \vec{X}_{1}, \vec{X}_{2} e \vec{X}_{3} são linearmente independente.
e pede em (a) mostrar que o autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3, e em (b) provar que as três soluções fundamentais \vec X_1,\vec X_2,\vec X_3 são linearmente independentes. Vamos usar teoria de valores próprios (polinômio característico) para (a) e a construção de soluções via cadeia de Jordan mais o cálculo do Wronskiano para (b).
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o determinante de A-\lambda I:
Assim o polinômio característico é (\lambda-1)^3 e segue que o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
Passo 3
Como \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3 e o posto de A-I é 1, formamos uma cadeia de Jordan de comprimento 2 mais um outro autovetor livre. Escolhemos:
v_1=(1,1,-2),\quad v_2=(1,-1,0),
que satisfazem (A-I)v_1=0 e (A-I)v_2=0, e um vetor generalizado v_3 tal que (A-I)v_3=v_1. Como cada coluna de A-I é proporcional a (1,1,-2), basta escolher v_3=(1,0,0), pois
temos W(t)=-2e^{3t}\neq0 para todo t. Logo \vec X_1,\vec X_2,\vec X_3 são linearmente independentes.
Resposta
a) O polinômio característico de A é (\lambda-1)^3, logo \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3.
b) As soluções \vec X_1(t)=e^t v_1, \vec X_2(t)=e^t v_2 e \vec X_3(t)=e^t(tv_1+v_3)
têm Wronskiano W(t)=-2e^{3t}\neq0, portanto são linearmente independentes.