( \mathbf{4 , 5} pontos) Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdots(2 n)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}
como convergente ou divergente. Vamos usar manipulação algébrica para reescrever o termo geral e depois aplicar o critério de séries geométricas.

Passo 2

Observe que o numerador é o produto dos n primeiros números pares:
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=\prod_{k=1}^{n}(2k).
Como 2k=2\cdot k, temos
\prod_{k=1}^{n}(2k) =\prod_{k=1}^{n}2\;\cdot\;\prod_{k=1}^{n}k =2^n\;n!.
Logo o termo geral a_n fica
a_n=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!} =\frac{2^n\,n!}{n!} =2^n.

Passo 3

A série original passa a ser
\sum_{n=1}^{\infty}2^n,
que é uma série geométrica de razão r=2. Sabemos que uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}ar^n
converge somente se |r|<1. Aqui |r|=2>1, portanto a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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