(
pontos) Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). (Acerto: +0,4. Erro: - 0,3. Em branco: 0,0
.
(a) ( ) A série
é divergente.
(b) ( ) A série
é uma série alternada.
(c) ( ) A série
converge para 3.
(d) ( ) O Teste da Integral pode ser usado para a série
.
(e) ( ) Se
então a série
é absolutamente convergente.
(f) ( ) A série de potências
tem raio de convergência igual a 2.
(a) ( ) A série
(b) ( ) A série
(c) ( ) A série
(d) ( ) O Teste da Integral pode ser usado para a série
(e) ( ) Se
(f) ( ) A série de potências
Passo 1
O enunciado pede para classificar seis afirmações sobre séries como verdadeiras ou falsas. Vamos usar estes conteúdos:
- Teste da série
para . - Definição de série alternada.
- Soma de série geométrica infinita.
- Teste da Integral (exige termos positivos e decrescentes).
- Teste da raiz (root test) para convergência absoluta.
- Raio de convergência de série de potências via fórmula de Cauchy–Hadamard.
Passo 2
Analisando (a):
é uma série
com
. Pelo teste de série
, essa série é convergente. A afirmação diz que é divergente, logo é falsa.
Passo 3
Analisando (b):
Os termos são
Os termos são
os sinais seguem
, não alternam sistematicamente
. Então não é uma série alternada. A afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando (c):
é geométrica com razão
e primeiro termo
. Como
, converge, mas sua soma é
não 3. A afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando (d):
tem termos de sinais alternados, não todos positivos. O Teste da Integral exige
e decrescente, portanto não se aplica diretamente. A afirmação é falsa.
Passo 6
Analisando (e):
O Teste da Raiz diz que se
O Teste da Raiz diz que se
então
converge absolutamente. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando (f):
Para a série de potências
,
o raio de convergência é
Para a série de potências
o raio de convergência é
Não é 2. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V
(f) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V
(f) F