( \mathbf{2 , 4} pontos) Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). (Acerto: +0,4. Erro: - 0,3. Em branco: 0,0 ).
(a) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} é divergente.
(b) ( ) A série \frac{1}{4}-\frac{3}{16}-\frac{9}{64}+\frac{27}{256}+\cdots é uma série alternada.
(c) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} 5\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} converge para 3.
(d) ( ) O Teste da Integral pode ser usado para a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi)}{\sqrt{n}}.
(e) ( ) Se \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<1 então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é absolutamente convergente.
(f) ( ) A série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n} tem raio de convergência igual a 2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar seis afirmações sobre séries como verdadeiras ou falsas. Vamos usar estes conteúdos:
  1. Teste da série p para \sum 1/n^p.
  2. Definição de série alternada.
  3. Soma de série geométrica infinita.
  4. Teste da Integral (exige termos positivos e decrescentes).
  5. Teste da raiz (root test) para convergência absoluta.
  6. Raio de convergência de série de potências via fórmula de Cauchy–Hadamard.

Passo 2

Analisando (a):
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} é uma série p com p=3>1. Pelo teste de série p, essa série é convergente. A afirmação diz que é divergente, logo é falsa.

Passo 3

Analisando (b):
Os termos são
\frac{1}{4},\;-\frac{3}{16},\;-\frac{9}{64},\;+\frac{27}{256},\dots
os sinais seguem +,-,-,+,\dots, não alternam sistematicamente +,-,+,-,\dots. Então não é uma série alternada. A afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando (c):
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}5\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n+1} é geométrica com razão r=-\tfrac{2}{3} e primeiro termo a=5(-\tfrac{2}{3})^{2}=20/9. Como \lvert r\rvert<1, converge, mas sua soma é
\frac{20/9}{1-(-2/3)}=\frac{20/9}{5/3}=\frac{4}{3},
não 3. A afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando (d):
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} tem termos de sinais alternados, não todos positivos. O Teste da Integral exige f(x)\ge0 e decrescente, portanto não se aplica diretamente. A afirmação é falsa.

Passo 6

Analisando (e):
O Teste da Raiz diz que se
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}=L<1,
então \sum a_n converge absolutamente. A afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando (f):
Para a série de potências
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{n},
o raio de convergência é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n}}=\frac{1}{1}=1.
Não é 2. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V
(f) F

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