Use o método do coeficiente indeterminado e o método da variação de parâmetro para encontrar uma solução para o sistema \dot{X}^{\prime}=A \dot{X}+\dot{F}, em que A e \vec{F}(t) são dados. A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e \vec{F}(t)=\left[\begin{array}{c}e^{2 t} \\\ \text { sent } \\\ t\end{array}\right]
Resposta:
\vec{X}=C_{1}\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] e^{-t}+C_{2}\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right] e^{t}+C_{3}\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right] e^{t}+\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] t+\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] \frac{e^{2 t}}{3}+\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] \frac{\operatorname{sen} t}{2}+\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] \frac{\cos t}{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear não homogêneo
\dot X = A\,X + F(t),
onde
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F(t)=\begin{pmatrix} e^{2t}\\\ \sin t\\\ t \end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares: primeiro encontramos a solução do homogêneo ( \dot X=A\,X) usando autovalores e autovetores; depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. Como alternativa geral, mencionaríamos variação de parâmetros, mas aqui aplicamos coeficientes indeterminados em cada termo de F(t).

Passo 2

Resolvendo o homogêneo \dot X = A\,X:
os autovalores de A são \lambda=-1,\,\lambda=1 (duplo).
– Para \lambda=-1 no subbloco \{x_1,x_2\} obtém-se autovetor v_1=(1,1,0)^T.
– Para \lambda=1 no subbloco \{x_1,x_2\} obtém-se autovetor v_2=(-1,1,0)^T.
– E na componente x_3 tem-se A_{33}=1 com autovetor v_3=(0,0,1)^T.
Logo a solução homogênea é
X_h(t) = C_1\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}e^{-t} + C_2\,\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}e^{t} + C_3\,\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo X_{p1}(t)=a\,e^{2t} para o termo e^{2t}.
Substituindo em \dot X = A\,X + F
2a\,e^{2t} = A\,a\,e^{2t} + \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}e^{2t},
ou seja
(2I - A)\,a = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como
2I - A =\begin{pmatrix}2&1&0\\\ 1&2&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},
resolvendo obtemos a=(2/3,\,-1/3,\,0)^T.
Assim
X_{p1}(t) =\begin{pmatrix}2/3\\\ -1/3\\\ 0\end{pmatrix}e^{2t}.

Passo 4

Para o termo \sin t usamos o palpite X_{p2}=p\cos t+q\sin t.
Diferenciando e agrupando \cos t,\sin t em \dot X - A\,X=[0,1,0]^T\sin t chega-se ao sistema
\begin{cases} q - A\,p = 0,\\\ p + A\,q = -\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. \end{cases}
Resolvendo dá
p=\begin{pmatrix}0\\\ -1/2\\\ 0\end{pmatrix}, \quad q=\begin{pmatrix}1/2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
logo
X_{p2}(t) =\begin{pmatrix}0\\\ -1/2\\\ 0\end{pmatrix}\cos t +\begin{pmatrix}1/2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\sin t =\frac12\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\sin t +\frac12\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\cos t.

Passo 5

Para o termo polinomial t na terceira componente basta resolver
x_3' - x_3 = t.
Palpite x_{3p}=a\,t+b a-(a\,t+b)=t, de onde a=-1 e b=-1.
Assim
X_{p3}(t)=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -\,t-1\end{pmatrix}.

Passo 6

A solução geral é a soma
X(t)=X_h(t)+X_{p1}(t)+X_{p2}(t)+X_{p3}(t).

Resposta

X(t) = C_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}e^{-t} + C_{2}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}e^{t} + C_{3}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{t} + \begin{pmatrix}2/3\\\ -1/3\\\ 0\end{pmatrix}e^{2t} + \frac12\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\sin t + \frac12\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -\,t-1\end{pmatrix}.

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