O conteúdo é resolução de sistemas lineares: primeiro encontramos a solução do homogêneo (\dot X=A\,X) usando autovalores e autovetores; depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. Como alternativa geral, mencionaríamos variação de parâmetros, mas aqui aplicamos coeficientes indeterminados em cada termo de F(t).
Passo 2
Resolvendo o homogêneo \dot X = A\,X:
os autovalores de A são \lambda=-1,\,\lambda=1 (duplo).
– Para \lambda=-1 no subbloco \{x_1,x_2\} obtém-se autovetor v_1=(1,1,0)^T.
– Para \lambda=1 no subbloco \{x_1,x_2\} obtém-se autovetor v_2=(-1,1,0)^T.
– E na componente x_3 tem-se A_{33}=1 com autovetor v_3=(0,0,1)^T.
Logo a solução homogênea é
Para o termo \sin t usamos o palpite X_{p2}=p\cos t+q\sin t.
Diferenciando e agrupando \cos t,\sin t em \dot X - A\,X=[0,1,0]^T\sin t chega-se ao sistema
X_{p2}(t) =\begin{pmatrix}0\\\ -1/2\\\ 0\end{pmatrix}\cos t +\begin{pmatrix}1/2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\sin t =\frac12\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\sin t +\frac12\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}\cos t.
Passo 5
Para o termo polinomial t na terceira componente basta resolver
x_3' - x_3 = t.
Palpite x_{3p}=a\,t+b dá a-(a\,t+b)=t, de onde a=-1 e b=-1.
Assim