Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. 0 observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal do polinómio
sobre a reta gerada por
. Informações dadas:
\n
\n
\n
Pergunta explícita: encontrar a projeção ortogonal de na reta
, isto é, encontrar o polinómio da forma
que é a projeção de
.
Pergunta explícita: encontrar a projeção ortogonal de
Passo 2
O que é a projeção ortogonal numa reta (explicação didática):
\n
Se procuramos entre todos os múltiplos aquele que aproxima melhor
(no sentido do produto interno dado), a condição de ótimo é que o erro
seja ortogonal a
. Em notação:
\n
\n
Se procuramos entre todos os múltiplos
\n
\n
Desenvolvendo essa condição obtemos a fórmula prática da projeção:
\n
Desenvolvendo essa condição obtemos a fórmula prática da projeção:
\n
\n
Portanto a projeção ortogonal de sobre a reta
é
\n
Portanto a projeção ortogonal de
\n
\n
(Isto vem da ideia geométrica: subtrair a componente na direção de deixa um vetor ortogonal a
.)
(Isto vem da ideia geométrica: subtrair a componente na direção de
Passo 3
Calcular
. Primeiro multiplicamos os polinómios:
\n
\n
\n
Expandindo termo a termo:
\n
Expandindo termo a termo:
\n
\n
Somando os termos semelhantes:
\n
Somando os termos semelhantes:
\n
Passo 4
Agora integramos de
a
:
\n
\n
\n
Integramos termo a termo:
\n
Integramos termo a termo:
\n
\n
Somando:
\n
Somando:
\n
\n
Colocando em denominador comum :
\n
Colocando em denominador comum
\n
Passo 5
Calcular
. Primeiro elevamos
ao quadrado:
\n
\n
\n
Integrando de a
:
\n
Integrando de
\n
\n
Termo a termo:
\n
Termo a termo:
\n
\n
Somando:
\n
Somando:
\n
Passo 6
Calcular o coeficiente
:
\n
\n
\n
Simplificando:
\n
Simplificando:
\n
Passo 7
Escrever a projeção e simplificar:
\n
\n
\n
Distribuindo:
\n
Distribuindo:
\n
\n
portanto
\n
portanto
\n
Passo 8
Verificação rápida (checagem de ortogonalidade): calcular
deve dar
. Como usamos a fórmula derivada da condição de ortogonalidade, essa verificação está implícita e confirma que o coeficiente
está correto.