Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=3 x^{2}+x-4 na reta gerada por
q(x)=2 x-4.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. 0 observe que a melhor aproximação de 3 x^{2}+x-4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-4 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{3 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-2
(B) \frac{7 x}{4}-\frac{7}{2}
(C) \frac{9 x^{2}}{4}+\frac{3 x}{4}-3
(D) x-2
(E) \frac{21 x^{2}}{8}+\frac{7 x}{8}-\frac{7}{2}
(F) \frac{5 x}{4}-\frac{5}{2}
(G) \frac{3 x}{2}-3
(H) \frac{15 x^{2}}{8}+\frac{5 x}{8}-\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do polinómio p sobre a reta gerada por q. Informações dadas:
\n
p(x)=3x^{2}+x-4
q(x)=2x-4
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx
\n
Pergunta explícita: encontrar a projeção ortogonal de p na reta \operatorname{span}\{q\}, isto é, encontrar o polinómio da forma \alpha q(x) que é a projeção de p.

Passo 2

O que é a projeção ortogonal numa reta (explicação didática):
\n
Se procuramos entre todos os múltiplos \alpha q(x) aquele que aproxima melhor p(x) (no sentido do produto interno dado), a condição de ótimo é que o erro p-\alpha q seja ortogonal a q. Em notação:
\n
\langle p-\alpha q,\,q\rangle=0.
\n
Desenvolvendo essa condição obtemos a fórmula prática da projeção:
\n
\langle p, q\rangle-\alpha\langle q,q\rangle=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
\n
Portanto a projeção ortogonal de p sobre a reta \operatorname{span}\{q\} é
\n
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=\left(\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\right) q(x).
\n
(Isto vem da ideia geométrica: subtrair a componente na direção de q deixa um vetor ortogonal a q.)

Passo 3

Calcular \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro multiplicamos os polinómios:
\n
p(x)q(x)=(3x^{2}+x-4)(2x-4).
\n
Expandindo termo a termo:
\n
3x^{2}\cdot 2x = 6x^{3},
3x^{2}\cdot(-4)=-12x^{2},
x\cdot 2x = 2x^{2},
x\cdot(-4)=-4x,
-4\cdot 2x = -8x,
-4\cdot(-4)=16.
\n
Somando os termos semelhantes:
\n
p(x)q(x)=6x^{3}+(-12x^{2}+2x^{2})+(-4x-8x)+16=6x^{3}-10x^{2}-12x+16.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 1:
\n
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} (6x^{3}-10x^{2}-12x+16)\,dx.
\n
Integramos termo a termo:
\n
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}-10x^{2}\,dx=-10\cdot\frac{1}{3}=-\frac{10}{3},
\int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,
\int_{0}^{1}16\,dx=16.
\n
Somando:
\n
\langle p,q\rangle=\frac{3}{2}-\frac{10}{3}-6+16.
\n
Colocando em denominador comum 6:
\n
\langle p,q\rangle=\frac{9}{6}-\frac{20}{6}-\frac{36}{6}+\frac{96}{6}=\frac{49}{6}.

Passo 5

Calcular \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} q(x)^{2}\,dx. Primeiro elevamos q ao quadrado:
\n
q(x)^{2}=(2x-4)^{2}=4x^{2}-16x+16.
\n
Integrando de 0 a 1:
\n
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (4x^{2}-16x+16)\,dx.
\n
Termo a termo:
\n
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-16x\,dx=-16\cdot\frac{1}{2}=-8,
\int_{0}^{1}16\,dx=16.
\n
Somando:
\n
\langle q,q\rangle=\frac{4}{3}-8+16=\frac{4}{3}+8=\frac{4+24}{3}=\frac{28}{3}.

Passo 6

Calcular o coeficiente \alpha:
\n
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{\frac{49}{6}}{\frac{28}{3}}=\frac{49}{6}\cdot\frac{3}{28}.
\n
Simplificando:
\n
\frac{49}{6}\cdot\frac{3}{28}=\frac{49}{28}\cdot\frac{3}{6}=\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{8}.

Passo 7

Escrever a projeção e simplificar:
\n
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p=\alpha q(x)=\frac{7}{8}(2x-4).
\n
Distribuindo:
\n
\frac{7}{8}\cdot 2x=\frac{7}{4}x,\qquad \frac{7}{8}\cdot 4=\frac{7}{2},
\n
portanto
\n
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p(x)=\frac{7}{4}x-\frac{7}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de ortogonalidade): calcular \langle p-\operatorname{proj}p,\,q\rangle deve dar 0. Como usamos a fórmula derivada da condição de ortogonalidade, essa verificação está implícita e confirma que o coeficiente \alpha=\tfrac{7}{8} está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{7x}{4}-\frac{7}{2}

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