Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: y2(t)=t^-2 e W(t)=-4 / t.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler
t^2y''-4ty'+6y=0, t>0
e informa que uma solução é y1(t)=t^2. O objetivo é encontrar uma segunda solução y2(t), linearmente independente de y1, e o Wronskiano W(y1,y2)(t).

Passo 2

Em equações de Euler, buscamos soluções da forma y=t^r. Substituindo na equação:
t^2l(r(r-1)t^r-2r)-4tl(rt^r-1r)+6t^r=0
implies r(r-1)-4r+6=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2-5r+6=0 Longrightarrow r=2ou r=3
Já temos y1(t)=t^2 (corresponde a r=2), logo a segunda solução é
y2(t)=t^3

Passo 4

O Wronskiano de y1 e y2 é
W(y1,y2)(t) = y1 & y2 y1' & y2' =t^2cdot(3t^2)-t^3cdot(2t) =3t^4-2t^4=t^4

Resposta

A segunda solução é
y2(t)=t^3
e o Wronskiano é
W(y1,y2)(t)=t^4.

Exercícios relacionados