Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
e informa que uma solução é . Precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente e o Wronskiano

Passo 2

Para equações de Cauchy–Euler tentamos a solução do tipo
y=t^r
Então
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação:
t^2l[r(r-1)t^r-2r] -4tl[r,t^r-1r] +6,t^r = l[r(r-1)-4r+6r]t^r = 0
Isso gera a equação característica
r(r-1)-4r+6 = 0 Longrightarrow r^2-5r+6=0

Passo 3

Resolvendo
r^2-5r+6=0 Longrightarrow (r-2)(r-3)=0 Longrightarrow r=2 ou r=3
Como já temos r=2 (dando y1=t^2), a segunda raiz r=3 fornece a segunda solução linearmente independente
y2(t)=t^3

Passo 4

Calculemos o Wronskiano
W(y1,y2)(t) = t^2 & t^3 2t & 3t^2 = t^2cdot(3t^2) - t^3cdot(2t) = 3t^4 - 2t^4 = t^4

Resposta

A segunda solução é
y2(t)=t^3,
e o Wronskiano vale
W(y1,y2)(t)=t^4

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