Com relação ao P.V.I.
e
. Todos os valores de
para os quais a solução torna-se ilimitada são: para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
e determinar para quais valores de
a solução
cresce sem limite (isto é, torna-se ilimitada). Vamos usar teoria de EDO lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral homogênea dependendo de
, depois uma solução particular ao forçamento
, e por fim impomos as condições iniciais e analisamos o comportamento para
.
Passo 2
Encontramos a solução geral da parte homogênea
resolvendo
.
- Se
, escrevemos e
- Se
, o EDO é e
- Se
, seja , então
Passo 3
Procuramos uma solução particular
ao forçamento
.
. Se não há ressonância, i.e.\
quando
, ou
em geral, usamos
Substituindo em
gera o sistema
logo, para
,
que é uma função limitada em
.
Passo 4
Analisamos agora a ressonância em
.
Quando , a parte homogênea contém
e
, então tentamos
Quando
Substituindo em
e igualando coeficientes, obtém-se
,
, ou seja
Esse termo cresce em módulo como
, logo a solução geral contém um fator não limitado e
torna-se ilimitada.
Passo 5
Examinamos o caso
.
A solução geral é
A solução geral é
com
e
limitado (calculado como em
Passo 6
Impondo
e
obtém-se coeficientes
em geral, de modo que o termo
não se anula. Como
quando
, a solução cresce exponencialmente e é ilimitada.
Passo 7
Finalmente, para
temos
. Integramos duas vezes e aplicamos as condições iniciais, encontrando que o coeficiente do termo
é zero, ou seja não sobra parte secular, e a solução resultante é limitada.
Resposta
A solução torna-se ilimitada exatamente para