Com relação ao P.V.I. y^prime prime+alpha y=3 cos (2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0. Todos os valores de alpha in R para os quais a solução torna-se ilimitada são: para todo alpha <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + alpha,y = 3cos(2t), y(0)=0, y'(0)=0
e determinar para quais valores de alphain R a solução y(t) cresce sem limite (isto é, torna-se ilimitada). Vamos usar teoria de EDO lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral homogênea dependendo de alpha, depois uma solução particular ao forçamento 3cos(2t), e por fim impomos as condições iniciais e analisamos o comportamento para tto+infty.

Passo 2

Encontramos a solução geral da parte homogênea yh resolvendo y''+alpha y=0.
  • Se alpha>0, escrevemos raizalpha=omega e
yh = C1cos(omega t) + C2sin(omega t)
  • Se alpha=0, o EDO é y''=0 e
yh = C1 + C2,t
  • Se alpha<0, seja beta=raiz-alpha>0, então
yh = C1 e^beta t + C2 e^-beta t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp ao forçamento 3cos(2t).
1. Se não há ressonância, i.e.\ omega neq 2 quando alpha > 0, ou alpha neq 4 em geral, usamos
yp = Acos(2t) + Bsin(2t)
Substituindo em y'' + alpha y = 3cos(2t) gera o sistema
(alpha - 4) A = 3, (alpha - 4) B = 0
logo, para alpha neq 4,
A = 3alpha - 4, B = 0, yp = 3alpha - 4 cos(2t),
que é uma função limitada em t.

Passo 4

Analisamos agora a ressonância em alpha=4.
Quando alpha=4, a parte homogênea contém cos(2t) e sin(2t), então tentamos
yp = tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Substituindo em y''+4y=3cos(2t) e igualando coeficientes, obtém-se A=3/4, B=0, ou seja
yp = 34,tcos(2t)
Esse termo cresce em módulo como t, logo a solução geral contém um fator não limitado e y(t) torna-se ilimitada.

Passo 5

Examinamos o caso alpha<0.
A solução geral é
y(t) = C1 e^beta t + C2 e^-beta t + yp(t),
com beta=raiz-alpha>0 e yp(t) limitado (calculado como em

Passo 6

Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 obtém-se coeficientes C1=C2neq0 em geral, de modo que o termo C1e^beta t não se anula. Como e^beta ttoinfty quando ttoinfty, a solução cresce exponencialmente e é ilimitada.

Passo 7

Finalmente, para alpha=0 temos y''=3cos(2t). Integramos duas vezes e aplicamos as condições iniciais, encontrando que o coeficiente do termo t é zero, ou seja não sobra parte secular, e a solução resultante é limitada.

Resposta

A solução torna-se ilimitada exatamente para
boxedalpha<0oualpha=4

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