Verifique se a série sumk=1^n 2^3 k 3^-2 k converge e em caso afirmativo, encontre sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série\r
sumk=1^infty2^3k3^-2k\r
e, se ela convergir, encontrar sua soma. Esse é um caso de série geométrica, pois o termo geral pode ser escrito como potência de uma razão comum.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral:\r
;2^3k3^-2k=l(2^33^2r)^k=l(89r)^k\r
Aqui a razão da série é \r
;r=89\r
Como lvert rrvert=89<1, a série geométrica converge.

Passo 3

Para ver a soma, primeiro calculamos a soma parcial . O primeiro termo é\r
\r
e a fórmula geral de soma parcial de uma geométrica é\r
\r
Substituindo e , obtemos\r

Passo 4

Para a soma da série infinita, tomamos o limite de Sn quando ntoinfty:\r

Resposta

A série converge e sua soma é 8.

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