Verifique se a série
converge e em caso afirmativo, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série\r
\r
e, se ela convergir, encontrar sua soma. Esse é um caso de série geométrica, pois o termo geral pode ser escrito como potência de uma razão comum.
e, se ela convergir, encontrar sua soma. Esse é um caso de série geométrica, pois o termo geral pode ser escrito como potência de uma razão comum.
Passo 2
Reescrevendo o termo geral:\r
Aqui a razão da série é \r
Como
, a série geométrica converge.
Passo 3
Para ver a soma, primeiro calculamos a soma parcial
. O primeiro termo é\r
\r
e a fórmula geral de soma parcial de uma geométrica é\r
e a fórmula geral de soma parcial de uma geométrica é\r
Substituindo
e
, obtemos\r
Passo 4
Para a soma da série infinita, tomamos o limite de
quando
:\r
Resposta
A série converge e sua soma é
.