Dado que
é uma solução da equação
; podemos afirmar que uma segunda solução
, bem como o Wronskiano
são:
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
e diz que uma solução é
. Queremos encontrar uma segunda solução linearmente independente
e calcular o wronskiano
Passo 2
Para usar o método padrão em equações de Euler, primeiro dividimos tudo por
t^2 (permitido em
t>0 ):
Passo 3
Na equação de Euler a gente faz o ansatz
Então
Substituindo em display na equação original:
que simplifica para
Passo 4
O coeficiente de
t^r dá a equação característica
Logo os dois raízes são
r1=2 e
r2=3 .
Passo 5
Como já temos
y1(t)=t^2 correspondente a
r1=2 , segue que a segunda solução independente é
Passo 6
Para o wronskiano usamos
Aqui
então
Resposta
A segunda solução é
e o wronskiano é