Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: y2(t)=t e W(t)=-t^2.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0,
e diz que uma solução é y1(t)=t^2. Queremos encontrar uma segunda solução linearmente independente y2(t) e calcular o wronskiano
W(y1,y2)(t)= y1 & y2 y1' & y2'

Passo 2

Para usar o método padrão em equações de Euler, primeiro dividimos tudo por t^2 (permitido em t>0):
y''-4ty'+6t^2y=0

Passo 3

Na equação de Euler a gente faz o ansatz
y=t^r
Então
y'=r,t^r-1, y''=r(r-1),t^r-2
Substituindo em display na equação original:
t^2l(r(r-1)t^r-2r)-4tl(r,t^r-1r)+6,t^r=0
que simplifica para
l[r(r-1)-4r+6r],t^r=0

Passo 4

O coeficiente de t^r dá a equação característica
r(r-1)-4r+6=0 Longrightarrow r^2-5r+6=0 Longrightarrow (r-2)(r-3)=0
Logo os dois raízes são r1=2 e r2=3.

Passo 5

Como já temos y1(t)=t^2 correspondente a r1=2, segue que a segunda solução independente é
y2(t)=t^r2=t^3

Passo 6

Para o wronskiano usamos
W(y1,y2)(t) =y1y2'-y1'y2
Aqui
y1=t^2, y1'=2t, y2=t^3, y2'=3t^2,
então
W(t)=t^2cdot3t^2-2tcdot t^3 =3t^4-2t^4 =t^4

Resposta

A segunda solução é
y2(t)=t^3,
e o wronskiano é
W(y1,y2)(t)=t^4

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