Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
X^prime=(cc3 & -1 0 & 2) X,
X(0)=binom11

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de EDO com coeficientes constantes
X^prime = A,X,
once
A = 3 & -1 [6pt]0 & 2,
e a condição inicial
X(0) = binom11
O conteúdo aqui é resolver sistemas triangulares por decoupling: primeiro achamos a segunda componente y(t), depois usamos esse resultado para resolver a primeira componente x(t) por método do fator integrante.]

Passo 2

Da primeira linha do sistema temos
x' = 3x - y,
e da segunda linha
y' = 2y
A equação de y é autônoma e simples. Resolvendo
y' = 2y
sepando variáveis ou lembrando que é equação de crescimento/exponencial, vem
y(t) = C,e^2t
Impondo y(0)=1 obtemos C=1. Logo
y(t) = e^2t

Passo 3

Agora voltamos à equação de x, que fica
x' - 3x = -,y(t) = -,e^2t
É uma equação linear de 1.º grau. O fator integrante é e^-3t, pois
ddtl(x,e^-3tr) = x',e^-3t - 3x,e^-3t = l(x' - 3xr)e^-3t
Multiplicando a equação por e^-3t, integra-se
ddtl(x,e^-3tr) = -,e^2t,e^-3t = -,e^-t,
logo
x,e^-3t = integral -,e^-t,dt = e^-t + K
Assim
x(t) = e^3tl(e^-t + Kr) = e^2t + K,e^3t
Impondo x(0)=1 1 = 1 + Kcdot1, ou seja K=0. Portanto
x(t)=e^2t

Resposta

X(t) = x(t)[4pt]y(t) = e^2t[4pt]e^2t ]

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