Com relação ao problema de valor inicial d yd x=raiz-y^2+1+raiz1-x, y(x0)=y0; qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que temos uma única solução? x0 >=|y0|<1.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o problema de valor inicial
dydx = f(x,y) = raiz1 - y^2 + raiz1 - x, y(x0) = y0
O que precisamos usar é o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, que exige que f seja contínua em (x,y) e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial (x0,y0).

Passo 2

Determinamos o domínio D de f exigindo que o argumento de cada raiz seja não negativo:
1-y^2>=0 Longrightarrow |y|<=1,
1-x>=0 Longrightarrow x<=1
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D=(x,y)mid x<=1,;-1<= y<=1

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y =-yraiz1-y^2
Esse termo é contínuo e limitado em qualquer conjunto compacto contido em ,|y|<1, o que garante que f seja Lipschitz em y em qualquer retângulo fechado dentro de |y|<1.

Passo 4

Para aplicar o teorema, precisamos de uma vizinhança retangular de (x0,y0) inteiramente contida em D e em |y|<1. Isso impõe
|y0|<1 e x0<1

Resposta

(x0,y0)mid x0<1,;|y0|<1

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