Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: y2(t)=1 / t e W(t)=-3.

Passo 1

O enunciado dá a equação
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0,
conhecendo-se uma solução y1(t)=t^2. Como é uma equação de Euler–Cauchy, vamos usar o método de tentativa y=t^m para encontrar a segunda raiz da característica e, em seguida, calcular o Wronskiano.

Passo 2

Assumindo y=t^m, temos
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2
Substituindo em t^2y''-4t,y'+6y=0 obtém-se a equação característica
t^2l[m(m-1)t^m-2r]-4tl[m,t^m-1r]+6,t^m=0 ;Longrightarrow; m(m-1)-4m+6=0
Resolvendo
m^2-5m+6=0 ;Longrightarrow; (m-2)(m-3)=0 ;Longrightarrow; m=2ou m=3

Passo 3

Já conhecemos a solução associada a m=2, ou seja, y1(t)=t^2. A outra raiz é m=3, logo uma segunda solução linearmente independente é
y2(t)=t^3

Passo 4

O Wronskiano de y1 e y2 é
W(y1,y2)(t) = t^2 & t^3[6pt] 2t & 3t^2 = t^2cdot 3t^2 - t^3cdot 2t = 3t^4 - 2t^4 = t^4 ]

Resposta

A segunda solução é
y2(t)=t^3
e o Wronskiano vale
W(y1,y2)(t)=t^4

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