1. integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2 x y d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y 2xy , dz , dy , dx
Aqui estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função 2xy em relação a z, depois em relação a y e por fim em relação a x. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 2xy em relação a z. Olha, como a função 2xy não depende de z, a integral em relação a z fica mais fácil. A integral de uma constante em relação a uma variável é só a constante vezes a diferença dos limites.
Então,
integral0^x+y 2xy , dz = 2xy cdot (x + y - 0) = 2xy(x + y)

Passo 3

Agora, nossa integral fica assim:
integral0^1 integralx^2 x 2xy(x + y) , dy , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2xy(x + y) = 2xy cdot x + 2xy cdot y = 2x^2y + 2xy^2
Então, a integral fica:
integral0^1 integralx^2 x (2x^2y + 2xy^2) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y. Vamos integrar cada termo separadamente.
Primeiro, a integral de 2x^2y em relação a y:
integral 2x^2y , dy = 2x^2 cdot y^22 = x^2y^2
Depois, a integral de 2xy^2 em relação a y:
integral 2xy^2 , dy = 2x cdot y^33 = 2x3y^3
Então, juntando tudo:
integralx^2x (2x^2y + 2xy^2) , dy = [ x^2y^2 + 2x3y^3 ]y=x^y=2x

Passo 5

Vamos substituir os limites de y na expressão que encontramos:
Para y = 2x:
x^2(2x)^2 + 2x3(2x)^3 = x^2 cdot 4x^2 + 2x3 cdot 8x^3 = 4x^4 + 16x^43 = 12x^4 + 16x^43 = 28x^43
Para y = x:
x^2(x)^2 + 2x3(x)^3 = x^2 cdot x^2 + 2x3 cdot x^3 = x^4 + 2x^43 = 3x^4 + 2x^43 = 5x^43
Agora, a diferença:
28x^43 - 5x^43 = 23x^43

Passo 6

Agora, nossa integral ficou assim:
integral0^1 23x^43 , dx
Vamos simplificar retirando a constante:
233 integral0^1 x^4 , dx

Passo 7

Vamos integrar x^4 em relação a x:
integral x^4 , dx = x^55
Aplicando os limites de 0 a 1:
233 [ 1^55 - 0^55 ] = 233 cdot 15 = 2315

Resposta

O valor da integral tripla é 2315.

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